1r ciclo Caída de una pesa y ¿errata en respuesta?

[Quetalsi]

Hola, este problema pertenece al libro de Tipler 6ª Ed. y es el 117 del capitulo 8.

La cosa es que la solución que da el libro de respuestas no la consigo de ninguna manera. Bueno empecemos por el enunciado y luego las soluciones, por si alguien me puede decir si tengo algun/os error/es, o es una errata del libro de soluciones.

Enunciado


Una pesa de gimnasia formada por dos bolas de masa m conectadas por una barra de 1 m de longitud y masa despreciable se apoya en un suelo sin rozamiento contra una pared sin rozamiento hasta que comienza a deslizarse por ésta como muestra la figura.
Determinar la velocidad $\nu$ de la bola que está junto al suelo en el momento que se hace igual a la velocidad de otra bola.



En el libro de soluciones dice que esa velocidad es: $\nu = 4,53 m/s$

La solución mía es $\nu = \sqrt{\frac{2g}{3} }\approx 2,56 m/s$ haciendo lo siguiente.

Descompongo la fuerza que actúa sobre la pesa:



Con esto calculo la aceleración de cada bola en función de x:

para la bola 1 (superior)

$m{a}_{1 } =mg-mg{cos }^{2 }\theta$

${a}_{ 1}=g\left( 1-{cos}^{ 2}\theta \right)$

${a}_{ 1}=g\left( 1-{y}^{ 2} \right)$

${a}_{ 1}=g{x}^{ 2}$

para la bola 2 (inferior)

$m{a}_{ 2} =mgcos\theta\sin\theta$

${a}_{ 2} =gcos\theta\sin\theta$

${a}_{ 2}= gxy$

${a}_{ 2}= gx\sqrt{1-{x}^{2 } }$

Ahora para encontrar la velocidad integro la aceleración, teniendo en cuenta que la aceleración está en función de x y no del tiempo.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

luego

$g{x}^{ 2}=<br /> \frac{\mathrm{d} {v}_{ 1} }{\mathrm{d} x }{v}_{ 1}$

$g{x}^{ 2}\dd x ={v}_{ 1}\dd{v}_{ 1}$

que integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales de x=0, v=0

$g\int {x}^{ 2}\dd x =\int{v}_{ 1}\dd{v}_{ 1}$

${\nu}_{1 } = \sqrt{\frac{2g}{3} {x}^{ 3} }$

Si hago lo mismo para la aceleración de la bola 2 tenemos que

${v}_{2 } =\sqrt{\frac{2g}{3}\left( 1-\left( 1-{x}^{2 } \right)^\frac{3}{ 2} \right) }$

Si igualamos las velocidades obtenemos el valor de x en el que ambas velocidades son iguales

${v}_{1 } ={v}_{ 2} \to x=1$

también tenemos la solución x=0, pero esa no me interesa en este caso.

Y por fin, sustituyendo x=1 en ${v}_{ 1}$ o ${v}_{2 }$ obtengo la velocidad pedida

$v=2,56m/s$

Bueno pues después de darle muchas vueltas, no consigo encontrar el fallo para que me de el resultado que propone el libro de soluciones.

Si le apetece entretenerse con este problema a alguien, le agradeceré que lo comente para salir de dudas.

Un saludo
Fran