Otras carreras Momento Inercia

[_Magic_]

Hola a todos de nuevo.

Me gustaría saber si la realización de este ejercicio es correcta, y si no la es, a poder ser guiarme para resolverla (no resolvermela directamente, sino corregirme y orientarme).


El ejercicio trata de hallar el momento de inercia de una esfera y pretendo hacerlo por coordenadas esféricas (que es para mi la "complicación").

Tenemos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por lo tanto, tengo que hallar el volumen de la esfera en coordenadas esféricas. Que creo que se corresponde con la siguiente expresión.

$<br /> dV = r \hspace{0,1cm} dr \hspace{0,1cm} \sin \theta \hspace{0,1cm} r \hspace{0,1cm} d\theta \hspace{0,1cm} d\varphi = r^2 \sin \theta dr d\theta d\varphi<br />$

Que viene (de esto no estoy seguro, si podéis aclararmelo o corregirmelo, se agradecerá) de coger trozos de "forma esférica" que forman un ángulo $d\varphi$ desde el centro de la esfera, con radio $dr$ y cuyo "espesor" es $r \hspace{0,1cm} \sin \theta d\theta$. No lo tengo muy claro, pero más o menos que con mis palabras creo que los tiros van por ahí.

Vale, siguiendo con el problema, sutituyendo dV en la ecuación (1):
$<br /> I = \int^{R}_0\int^{2\pi}_{0}\int^{\pi}_{0} r^4 \sin \theta \, d\theta\,d\varphi\,dr = \rho \frac{4\pi}{5} R^5$

Y sabiendo que el volumen de una esfera es $\frac{4\pi}{3}R^3$ la densidad:

$\rho = \frac {M}{V} = \frac {M}{\frac{4\pi}{3}R^3}$


Sustituimos:
$<br /> I = \frac {M}{\frac{4\pi}{3}R^3} \frac{4\pi}{5} R^5 = \frac {3}{5}MR^2$


No sé si está bien, tengo la sensación que no porque no me he manejado mucho con esféricas (el resultado sé que sí, pero el procedimiento, a saber si me he inventado algo). Lo dejo a vuestro juicio.

Muchas gracias.