1r ciclo El problema de Kepler

[jagicas]

[FONT=Calibri]Hola a todos:[/FONT]
[FONT=Calibri]Con el fin de aprender sobre física por mi cuenta estoy viendo en Youtube la serie documental “El Universo Mecánico”. ¿No sé si conocéis estos documentales? He sido capaz de entenderlos hasta el capítulo 21, pero en el 22 me he perdido con el “Problema de Kepler”. Kepler hizo sus tres leyes, pero la explicación matemática la dio Newton.[/FONT]
[FONT=Calibri]Mi objetivo es comprender matemáticamente como la ecuación polar de las secciones cónicas $r=\frac{ed}{ 1+e\cos\theta}$ se transforma en esta otra, aplicando las leyes de Newton $r=\frac{L^2/GM^2m}{1+e\cos \theta}$.

Estos son los enlaces del capítulo 22 del “El Universo Mecánico” y de un artículo que trata sobre el mismo y tema.
http://www.youtube.com/watch?v=cNu_h...eature=mh_lolz
http://zeth.ciencias.uchile.cl/~roso...e%20Newton.pdf

[FONT=Calibri]Hasta aquí lo entiendo más o menos.
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[FONT=Calibri][FONT=Calibri]$\vec{a}=-G\frac{Mm}{Mr^2}\hat{r}<br />$[/FONT]

$\vec{L}=Mr^2\frac{d \theta}{dt}\hat{k}$[/FONT]

[FONT=Calibri]Luego hace el producto vectorial de estas dos ecuaciones.
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[FONT=Calibri]$\vec{a}\times{}\vec{L}=GMm\frac{d \theta}{dt}\hat{k}\times{}\hat{r}$

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[FONT=Calibri]Hasta aquí lo entiendo, pero luego hace el producto vectorial de los vectores unitarios $\hat{k}\times{}\hat{r}=\frac{d\hat{r}}{d \theta}$, y aquí me pierdo. No sé de donde sale $\frac{d\hat{r}}{d \theta}$.

Esto es lo que me gustaría que me ayudaran a comprender.

[FONT=Times New Roman][FONT=Calibri]Luego continúo perdido cuando integra la ecuación anterior.[/FONT]

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[FONT=Calibri][FONT=Times New Roman]$\int\frac{d(\vec{v}\times{}\vec{L})}{dt}=\int GMm\frac{d\hat{r}}{dt}\Longrightarrow \vec{v}\times{}\vec{L} = GMm(\hat{r}+\vec{e})$

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[FONT=Calibri][FONT=Times New Roman][FONT=Calibri]Lo que no entiendo en esta ocasión es como se transforma $\frac{d\hat{r}}{dt}\Rightarrow{(\hat{r}+\vec{e})}$.


No sé si se referirá al principio de integración $\int f(x)\,dx=F(x)+C$, y son equivalentes $\vec{e} \equiv C$.

Finalmente multiplica por el radio vector ambos miembros de la ecuación y por $M/M$ el lado izquierdo.

[/FONT][/FONT][/FONT][FONT=Calibri][FONT=Times New Roman][FONT=Calibri]

$\frac{M}{M}\vec{r}(\vec{v}\times{}\vec{L})=\vec{r}(GMm (\hat{r}+\vec{e}))\Rightarrow{\frac{L^2}{M}=GMm(r+re\cos{ \theta})}$

Entiendo el resultado del lado izquierdo, pero no entiendo esto $\vec{r}(\hat{r}+\vec{e})\Rightarrow({r+re\cos{ \theta}})$. Pensaba que $\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}$. Tampoco sé como se llega a este resultado $\vec{r}*\vec{e}=re\cos \theta$.

Al final se llega a la ecuación algebraica

[FONT=Times New Roman]$r=\frac{L^2/GM^2m}{1+e\,\cos{ \theta}}$
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[/FONT][/FONT][/FONT][FONT=Calibri][FONT=Times New Roman][FONT=Calibri]Este es mi objetivo, pero estas cuatro dudas me impiden alcanzarlo.

Cualquier pequeña ayuda estaría muy agradecido.

Un saludo a todos.


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