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Buenas, siempre tengo un mal sabor de boca cuando trabajo con momentos e intento interpretarlo como giros. Si pienso en ellos de forma geométrica no tengo problema,
como la definición que siempre me han dado ha sido:
supongo que es porque no he trabajado mucho con ellos.
El caso concreto es el cambio de centro de reducción:
Que vendría a ser algo como: "el momento respecto a O', es igual al momento en O más el momento de a, como si estuviese situado en O, con respecto a O'"
Esto es lo que ocurre en los sólidos rígidos, tenemos un campo de momentos.
La deducción algebraica es muy clara, pero no estoy muy conforme pues siendo algo tan "imaginable" el solido rígido, debe ser una propiedad mucho más tangible creo yo.
La intuición geométrica es muy clara: (aún no me manejo con el inkscape así que tendré que conformarme con el paint xD)
Está claro que el área del rectángulo rojo es igual a la suma de las áreas de los rectángulos azules . Es facil de ver si interpretas los momentos como áreas. ¿Se os ocurre cómo reformularlo usando el concepto de giro? Como se debe interpretar un momento (supongo que el área no es la interpretación física más cercana...?
Saludos y gracias de antemano.
- - - Actualizado - - -
Creo que ya lo tengo todo claro. Os pongo a las conclusiones que he llegado, a ver si alguien les puede dar visto bueno.
Lo que he hecho a sido intentar expresar el campo de velocidades de un solido rígido que está rotando (sin traslación), llegando a la observación de que las observaciones que he hecho están todas englobadas en el producto vectorial. Si vemos el campo de velocidades, tenemos:
Está claro que las velocidades van aumentando con la distancia, además se observa que esta dependencia es lienal, pero por estar seguros, ¿Qué pasa si las velocidades no fuesen lineales respecto a la distancia, por qué tienen que serlo? Si suponemos una dependencia cuadrática, se observa rápidamente el error, el sólido se deforma, violando la definición de sólido rígido
Visto desde del eje z, una recta perpendicular al eje de giro se transformaría en una curva como esa, deformando el sólido y por tanto modificando las distancias entre puntos.
Vamos a observar que claramente esta relación debe ser lineal respecto a la distancia:
Aunque estaba claro, ahí observamos que como son triángulos semejantes, al multiplicar por d, todo se ve ampliado por este factor.
En resumen la velocidad en un punto es proporcional a la distancia que lo separa del eje. Su dirección está clara. También es fácil observar que cada punto de una recta perpendicular al eje describe movimientos circulares con velocidad angular uniforme al rededor de esa recta. La velocidad angular va incluida en la información del eje para que el movimiento quede definido. Si se entiende el movimiento circular no hay problema con todo esto. Aunque hay una observación que creo que ayuda mucho a intuir como funciona estos movimientos circulares.
Un breve inciso sobre los movimientos circulares. También en su momento me costo un poquillo comprenderlos, pero esto me aclaró mucho las ideas
Es simplemente observar como funciona en tiempos infinitesimales, y observar que la tangente del diferencial de theta y diferencial de theta son infinitesimos similares (¿se dice así?). Es decir que en un tiempo infinitesimal
y también
Bueno sigo con lo otro. Ya está todo claro en realidad, y ya sé que no conté nada nuevo, pero tenía que ordenar las ideas.
A lo que iba, cómo se podría interpretar el teorema ese de cambio de centro de reducción.
Vemos que la velocidad que tiene el punto O', va a ser la que tiene O más la que O' si el eje pasase por O.
Observemos que se debe a la linealidad respecto a la distancia
Comparando con la frase original:
El momento respecto a O', es igual al momento en O más el momento de a, como si estuviese situado en O respecto a O'.
¡Es lo mismo!, y ahora creo yo, con mucho más sentido físico
y creo que más fácil de intuir por qué es así (el dibujo es bastante claro).
Además cualquier situación en el espacio la podemos llevar a la misma reducción, pues solo importan las distancias al eje y no las posiciones.
El producto vectorial incluye todo lo que necesitamos pues nos multiplica por el módulo de a que contendrá la información de la velocidad angular y por la distancia del punto a la recta (OA por seno del ángulo que forman), además nos da la dirección perpendicular que necesitamos.
Bueno creo que ya puedo volver a dormir tranquilo jeje, saludos y espero que a alguien le sirva de ayuda. Llevo un buen rato pensándolo así que me gustaría mucho conocer vuestra opinión, y que criticaseis la redacción.
Saludos
- - - Actualizado - - -
Creo que tengo la interpretación definitiva jajaja, 3º intento. Dibujada se ve muy clara, pero soy capaz de hacerlo en el paint y aún no me manejo con el inkscape, así que voy a tener que relatarla.
La clave es observar que todos los puntos se ven a sí mismos como centros del movimiento. Esto es fácil de observar, si nos imaginamos montados sobre un punto (en plan planeta rodeado de los demás puntos), nosotros nos vemos fijos y también todos los que están sobre nosotros que sean paralelos al eje de rotación (pues todos llevamos la misma velocidad respecto al verdadero centro, claro que esto no lo notamos jeje) y los demás rotan a nuestro al rededor (en plan geocentrismo, nosotros somos el centro, en este caso, el eje jeje) describiendo el campo de velocidades característico de un movimiento de rotación al rededor de un eje. Si medimos la velocidad de un punto respecto al eje que nosotros vemos fijos y del cual somos parte, no estaremos midiendo su velocidad real, si no su velocidad relativa respecto. Como nuestro eje también está en movimiento respecto al eje fijo, habrá que sumar la velocidad de nuestro eje a la que hemos medido respecto a nosotros.
Así el teorema del cambio de centro de reducción nos recuerda que cualquier punto puede ser centro del movimiento, pero habrá que sumar la velocidad que este nuevo centro tiene respecto al verdadero centro fijo.
No está bien explicado, pero creo que se puede sacar la idea (es que explicarlo con ejes). Lo más cómodo es visualizar solo un plano que sea perpendicular al eje de rotación y así se puede hablar de puntos... Bueno cuando tenga tiempo lo redacto bien y hago el dibujo, esto lo escribo para que no se me olvide.
Creo que está interpretación es mucho más general, además de fácil de recordar y más visualizable que la anterior, que seguía siendo muy geométrica y estaba limitada a ciertos casos cuya generalización no era tan trivial...
Creo que esta es la definitiva
Saludos
como la definición que siempre me han dado ha sido:
supongo que es porque no he trabajado mucho con ellos.
El caso concreto es el cambio de centro de reducción:
Que vendría a ser algo como: "el momento respecto a O', es igual al momento en O más el momento de a, como si estuviese situado en O, con respecto a O'"
Esto es lo que ocurre en los sólidos rígidos, tenemos un campo de momentos.
La deducción algebraica es muy clara, pero no estoy muy conforme pues siendo algo tan "imaginable" el solido rígido, debe ser una propiedad mucho más tangible creo yo.
La intuición geométrica es muy clara: (aún no me manejo con el inkscape así que tendré que conformarme con el paint xD)
Está claro que el área del rectángulo rojo es igual a la suma de las áreas de los rectángulos azules . Es facil de ver si interpretas los momentos como áreas. ¿Se os ocurre cómo reformularlo usando el concepto de giro? Como se debe interpretar un momento (supongo que el área no es la interpretación física más cercana...?
Saludos y gracias de antemano.
- - - Actualizado - - -
Creo que ya lo tengo todo claro. Os pongo a las conclusiones que he llegado, a ver si alguien les puede dar visto bueno.
Lo que he hecho a sido intentar expresar el campo de velocidades de un solido rígido que está rotando (sin traslación), llegando a la observación de que las observaciones que he hecho están todas englobadas en el producto vectorial. Si vemos el campo de velocidades, tenemos:
Está claro que las velocidades van aumentando con la distancia, además se observa que esta dependencia es lienal, pero por estar seguros, ¿Qué pasa si las velocidades no fuesen lineales respecto a la distancia, por qué tienen que serlo? Si suponemos una dependencia cuadrática, se observa rápidamente el error, el sólido se deforma, violando la definición de sólido rígido
Visto desde del eje z, una recta perpendicular al eje de giro se transformaría en una curva como esa, deformando el sólido y por tanto modificando las distancias entre puntos.
Vamos a observar que claramente esta relación debe ser lineal respecto a la distancia:
Aunque estaba claro, ahí observamos que como son triángulos semejantes, al multiplicar por d, todo se ve ampliado por este factor.
En resumen la velocidad en un punto es proporcional a la distancia que lo separa del eje. Su dirección está clara. También es fácil observar que cada punto de una recta perpendicular al eje describe movimientos circulares con velocidad angular uniforme al rededor de esa recta. La velocidad angular va incluida en la información del eje para que el movimiento quede definido. Si se entiende el movimiento circular no hay problema con todo esto. Aunque hay una observación que creo que ayuda mucho a intuir como funciona estos movimientos circulares.
Un breve inciso sobre los movimientos circulares. También en su momento me costo un poquillo comprenderlos, pero esto me aclaró mucho las ideas
Es simplemente observar como funciona en tiempos infinitesimales, y observar que la tangente del diferencial de theta y diferencial de theta son infinitesimos similares (¿se dice así?). Es decir que en un tiempo infinitesimal
y también
Bueno sigo con lo otro. Ya está todo claro en realidad, y ya sé que no conté nada nuevo, pero tenía que ordenar las ideas.
A lo que iba, cómo se podría interpretar el teorema ese de cambio de centro de reducción.
Vemos que la velocidad que tiene el punto O', va a ser la que tiene O más la que O' si el eje pasase por O.
Observemos que se debe a la linealidad respecto a la distancia
Comparando con la frase original:
El momento respecto a O', es igual al momento en O más el momento de a, como si estuviese situado en O respecto a O'.
¡Es lo mismo!, y ahora creo yo, con mucho más sentido físico
y creo que más fácil de intuir por qué es así (el dibujo es bastante claro).Además cualquier situación en el espacio la podemos llevar a la misma reducción, pues solo importan las distancias al eje y no las posiciones.
El producto vectorial incluye todo lo que necesitamos pues nos multiplica por el módulo de a que contendrá la información de la velocidad angular y por la distancia del punto a la recta (OA por seno del ángulo que forman), además nos da la dirección perpendicular que necesitamos.
Bueno creo que ya puedo volver a dormir tranquilo jeje, saludos y espero que a alguien le sirva de ayuda. Llevo un buen rato pensándolo así que me gustaría mucho conocer vuestra opinión, y que criticaseis la redacción.
Saludos
- - - Actualizado - - -
Creo que tengo la interpretación definitiva jajaja, 3º intento. Dibujada se ve muy clara, pero soy capaz de hacerlo en el paint y aún no me manejo con el inkscape, así que voy a tener que relatarla.
La clave es observar que todos los puntos se ven a sí mismos como centros del movimiento. Esto es fácil de observar, si nos imaginamos montados sobre un punto (en plan planeta rodeado de los demás puntos), nosotros nos vemos fijos y también todos los que están sobre nosotros que sean paralelos al eje de rotación (pues todos llevamos la misma velocidad respecto al verdadero centro, claro que esto no lo notamos jeje) y los demás rotan a nuestro al rededor (en plan geocentrismo, nosotros somos el centro, en este caso, el eje jeje) describiendo el campo de velocidades característico de un movimiento de rotación al rededor de un eje. Si medimos la velocidad de un punto respecto al eje que nosotros vemos fijos y del cual somos parte, no estaremos midiendo su velocidad real, si no su velocidad relativa respecto. Como nuestro eje también está en movimiento respecto al eje fijo, habrá que sumar la velocidad de nuestro eje a la que hemos medido respecto a nosotros.
Así el teorema del cambio de centro de reducción nos recuerda que cualquier punto puede ser centro del movimiento, pero habrá que sumar la velocidad que este nuevo centro tiene respecto al verdadero centro fijo.
No está bien explicado, pero creo que se puede sacar la idea (es que explicarlo con ejes). Lo más cómodo es visualizar solo un plano que sea perpendicular al eje de rotación y así se puede hablar de puntos... Bueno cuando tenga tiempo lo redacto bien y hago el dibujo, esto lo escribo para que no se me olvide.
Creo que está interpretación es mucho más general, además de fácil de recordar y más visualizable que la anterior, que seguía siendo muy geométrica y estaba limitada a ciertos casos cuya generalización no era tan trivial...
Creo que esta es la definitiva
Saludos