Divulgación Sonidos de cuerda

[alexpglez]

Hola, para una cuerda de longitud l sujetada por los extremos y que estire la cuerda en un punto y por tanto se forma una función a dos trozos de funciones lineales en el instante inicial:

$$s_1(x)= \frac{A}{a}x \;\;\;\;\; 0<x<a$$

$$s_2(x)= \frac{A}{l-a}(l-x) \;\;\;\;\; a<x<l$$

Donde A es la amplitud y el punto donde se estira. No damos ninguna velocidad inicial:

$$v(x)=0$$

Calculando los coeficientes de fourier me sale que la función es:

$$\frac{2Al^2}{n^2\pi ^2a(l-a)}\sin \frac{n\pi}{l} a \sin \frac{n\pi}{l} x \cos \frac{n\pi v}{l} t$$

Con esa función puedes visualizar que onda produce un punto cualquiera de la cuerda. Pero si quieres en general qué sonido o onda emite la cuerda en general, aunque haya muchos otros factores como el tiempo que tarda al llegar al oído etc. ¿Se podría aproximar integrando la función respecto a la variable x entre los límites de la cuerda?

Gracias por adelantado.

[Julián]

Re: Sonidos de cuerda

La verdad es que no se entiende el enunciado de la cuerda. Por lo que veo planteas una cuerda la cual está tensa. ¿Y con qué te refieres con que estire la cuerda en un punto? ¿Que en un cierto punto de la cuerda le apliquemos una tensión mayor?

$-K x = m \frac{{d}^{2} x(t)}{{d t}^{2}} = \rho l \frac{{d}^{2} x(t)}{{d t}^{2}}$

La anterior es la ecuación diferencial que describe el comportamiento elástico. En donde si tenemos en cuenta el movimiento armónico

$K x = m {\omega }^{2} x = \rho l {\omega }^{2} x$

Y ahí si habrá una onda sonora porque la solución a dicha ecuación diferencial es la senoidal.

Porque la función que pusiste depende del espacio solamente y no es una onda (ya sea viajera o estacionaria) aunque es posible realizar la serie de fourier para una función puramente espacial, en donde obtendrás los armónicos espaciales pero nada de onda

[alexpglez]

Re: Sonidos de cuerda

Lo siento, igual no me expliqué:
La ecuación de ondas es:

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$

La solución es:

$$u(x,t)=(A\cos kx + B\sin kx)(C\cos kvt + D\sin kvt)$$

Ahora con las condiciones dicen que:

$$u(0,t)=u(l,t)=0$$

De donde saco que:

$$A=0$$

$$k=\frac{n\pi}{l}$$

Además de otras condiciones:

$$u(x,0)=s(x)$$

$$\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=v(x)$$

Lo que finalmente da que:

$$u=\sum_{n=1}^{\infty}\sin \frac{n\pi}{l}x (C_n\cos \frac{n\pi}{l}vt + D_n\sin \frac{n\pi}{l}vt)$$

$$C_n=\frac{2}{l}\int_{0}^l s(x)\sin \frac{n\pi}{l}x \dd x$$

$$D_n=\frac{2}{n \pi v}\int_{0}^l v(x)\sin \frac{n\pi}{l} \dd x$$

Ahora, lo que creo yo es que cuando se tensa la cuerda en cierto punto, surge que:

$$s(x)= \frac{A}{a}x \;\;\;\;\; 0<x<a$$

$$s(x)= \frac{A}{l-a}(l-x) \;\;\;\;\; a<x<l$$

Si también incluimos la condición:

$$v(x)=0$$

Resolviendo la integral queda la ecuación:

$$u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2Al^2}{n^2\pi ^2a(l-a)}\sin \frac{n\pi}{l} a \sin \frac{n\pi}{l} x \cos \frac{n\pi v}{l} t$$

Que tiene componente espacial y componente temporal.

Ahora bien, lo que has puesto lo entiendo pero no del todo. ¿Cómo se sacarían después los coeficientes de esa función de onda?
Puesto que:

$$\omega=\frac{n\pi v}{l}$$

Por lo tanto tendría que quedar tal y como dices:

$$u(t)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n \cos \frac{n\pi v}{l} t + B_n \sin \frac{n\pi v}{l} t$$

Pero como sacar A_n y B_n sin más condiciones¿?

Lo que preguntaba yo era sí la ecuación de onda para la cuerda, que nos dice con qué frecuencia y amplitud vibra cada punto de la cuerda, para saber que onda produce en general toda la cuerda a la vez, habría que integrar con respecto a x.¿?

[Julián]

Re: Sonidos de cuerda

Creo que te estás enrrollando. Lo que veo que hiciste es a partir de la ecuación de onda, tomar una solución. Pero no sé porque tomas esa solución en particular, ya que las soluciones a la ecuación de onda es toda función de la forma

$\dst F(x - vt) + G (x+ vt)$

y hay innumerables soluciones.

Lo que preguntaba yo era sí la ecuación de onda para la cuerda, que nos dice con qué frecuencia y amplitud vibra cada punto de la cuerda, para saber que onda produce en general toda la cuerda a la vez, habría que integrar con respecto a x.¿?

Lo que nos dice como oscila cada pto. de la cuerda es la ecuación diferencial que describe la física de la cuerda, como mencioné en mi comentario anterior y no la ecuación de onda (lo cual nos dice si la función en el espacio a su vez se desplaza en el espacio, es decir, si es una onda). Que en el caso unidimensional es

$\dst -k \vec{y} = m \frac{{\partial}^{2} \vec{y}} {{\partial t}^ {2}}= \rho l \frac{{\partial}^{2} \vec{y}} {{\partial t}^ {2}}$

En donde k es la cte. elástica de la cuerda, y es la amplitud con q se saca de su pto de equilibrio, x es la posición en un pto. de la cuerda, m la masa de la cuerda, $\rho$ es la densidad lineal de la cuerda y l su longitud.

La solución a esta ecuación diferencial, que depende de los parámetros físico, si a su vez es solución a la ecuación de onda, nos da la onda sobre la cuerda y por lo tanto su frecuencia.

Es más si quieres hacer un análisis más real, hay otra fuerza (además de la elástica) que es la restauradora:

$\dst -k \vec{y} + \mu \frac{\partial y(t)}{\partial t}= m \frac{{\partial}^{2} \vec{y}} {{\partial t}^ {2}}= \rho l \frac{{\partial}^{2} \vec{y}} {{\partial t}^ {2}}$

La solución de la ecuación diferencial será parecida a la anterior pero la amplitud de la onda diminuirá, por lo que será armortiguada. Podemos corroborar si es una onda derivandola 2 veces con respecto al tiempo y con respecto al espacio y si es igual a la expresión de la ecuación de onda entonces si es una onda. En este caso también será una onda.

Aunque quizás tu duda sea matemática y lo que quieres saber es como sacar los coeficientes de la ecuación que desarrollaste en el comentario anterior, pero eso es para la sección de matemática del foro.

Saludos.

[alexpglez]

Re: Sonidos de cuerda

Creo que ya entiendo lo que tratas de decirme. Yo pensaba que al estirarse una cuerda formaría visualmente la función s(x), o sea que de perfil se vería así, por eso traté de llegar a la solución aquella. Lo que me dices es que para el problema use simplemente la ley de hooke, y coloque los coeficientes en función de la posición y velocidad inicial del punto y frecuencia angular (k/m)^(1/2)¿?

[Julián]

Re: Sonidos de cuerda

Si resuelves la ecuación diferencial de segundo orden con el término de amortiguamiento, en donde $\mu$ es una constante que depende de la cuerda, la misma es una ecuación lineal homogenea de segundo orden. Habrá 3 soluciones diferentes, amortiguado, sob reamortiguado y con amortiguamiento crítico. En todos los casos tienes 2 coeficientes que dependen de las condiciones iniciales a encontrar que serán la amplitud de la señal. En el caso ideal, donde no está el término de la fuerza amortiguada obtendrás una función senoidal.

A su vez si realizas la transformada de fourrier y trabajas en el dominio de la frecuencia compleja podras obtener los valores de amplitud para las diferentes frecuencias (es decir la cuerda responde diferente en amplitud a las diferentes frecuencias) en donde la amplitud máxima de la señal te da la frecuencia de resonancia.

Yo pensaba que al estirarse una cuerda formaría visualmente la función s(x), o sea que de perfil se vería así, por eso traté de llegar a la solución aquella

Es que si, la función de onda depende del espacio a la vez del tiempo. para un tiempo constante obtendrás una función que dependa del espacio. El problema es que analizaste la oscilación de una cuerda matemáticamente sin tener en cuenta el aspecto físico.

PD: Lo que me olvidé de poner en las ecuaciones de mi comentario anterior que la función $y$depende también del espacio, es decir de los puntos de la cuerda, es decir, la fuerza elástica será:
$\dst - k \frac{\partial y}{\partial x}$

Por lo que para resolver la ecuación tendrás que aplicar el método de separación de variables.

[posidonfyq]

Re: Sonidos de cuerda

Hola, ¿podría existir una onda sonora con la suficiente energía como para tirar a una persona, pero que al mismo tiempo no produjese un sonido alto, o un sonido inaudible para los humanos?

[Julián]

Re: Sonidos de cuerda

Si y efectivamente pasa. Un terremoto, es un pulso y por lo tanto su descripción matemática cumple con una solución a la ecuación de onda. Ahora si te refieres a una onda en el aire, también sería posible pero tendría que ser de muy baja frecuencia y me atrevería a decir que menor a 1 Hz y por lo tanto sería inaudible. Porque si fuera mayor a 1 hz, una vez que la onda de presión sonora te empuja hacia un lado, en la mitad de 1 segundo te está empujando para el otro.