Hallar tensor de inercia de los rígidos mostrados

[Like Tony Stark]

Las fotos muestran dos varillas de masa homogénea m y longitud l rotando con velocidad angular w. Determinar los tensores de inercia asociados a cada uno.

Hola! Tengo un par de dudas respecto a este concepto... qué es el tensor de inercia? O sea, sé la forma que tiene y todo, pero cuál sería una definición formal? Qué dice explícitamente? (aparte de "qué tanto cuesta hacer girar algo")

Luego, cómo usarlo en estos problemas? Tengo las fórmulas de las integrales de cada componente del tensor, veo que aparecen x, y y z, pero no sé con qué reemplazarlos. Es decir, pienso "bueno, supongo que donde dice z se refiere a la longitud de la barra en z" pero después me doy cuenta de que si rota no siempre estará la misma parte de la varilla asociada a una misma coordenada. No sé si me explico...

Después, entiendo que esto con varillas es un ejemplo muy tonto, pero qué pasaría si en vez de varillas fueran semicilindros sólidos u objetos más complejos?

Gracias

[Richard R Richard]

Las fotos muestran dos varillas de masa homogénea m y longitud l rotando con velocidad angular w. Determinar los tensores de inercia asociados a cada uno.

Tensor de inercia hay uno solo, así que el enunciado debe hacerse en singular.

El tensor de inercia en 3 dimensiones tiene 9 componentes, , al ser un tensor simétrico, solo tiene 6 componentes de valores diferentes

$I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz},$ cada una de esas componentes es el resultado del cálculo de una integral de volumen.

qué es el tensor de inercia?

Si defines un cuerpo de tres dimensiones, con diferentes regiones de diferentes densidades, que recibe ciertas fuerzas que lo ponen a rotar, como calculas que será su energía cinética de rotación? cómo será su traslación , sobre que eje quedar rotando?

Todas esas respuestas las puedes obtener del tensor de inercia. Si puedes medir la velocidad angular que desarrolla en los tres ejes de tu sistema de referencia, y puedes calcular la velocidad de su CM, Podrás calcular su energía cinética de rotación, utilizando el tensor de inercia.

En la práctica siempre usamos problemas con muchas simetrías resueltas, entonces la aplicación del tensor queda reducida a calcular una componente que es el Momento de inercia principal de un solo eje.

O sea, sé la forma que tiene y todo, pero cuál sería una definición formal?

Te digo como lo entiendo

Entonces que es el tensor de inercia, es el aparato matemático que te permite calcular la energía cinética de rotación, para cualquier cuerpo, con cualquier distribución de densidades de masa sobre su volumen que rota arbitrariamente con distinta componente de velocidad angular en el espacio de tres dimensiones. Es el aparato algebraico del cual se derivan los casos particulares que son los que luego se plantean en los problemas.

Qué dice explícitamente? (aparte de "qué tanto cuesta hacer girar algo")

te brindad la información de cuanta energía necesitas para cambiar el estado de rotación de cualquier distribución de masa arbitraria.

Luego, cómo usarlo en estos problemas?

Todo tensor es como una transformación lineal, por lo que su aplicación vectorial, permite el principio de superposición, es decir puedes resolver componente a la componete y el resultado es la suma vectorial de componentes. Luego si existen ciertas simetrías algunas componentes se anulan, dando resultados fáciles de hallar por una simple integración, mucho más fácil es cuando el objeto tiene densidad constante pues esta sale fuera de la integral y solo integras una función sobre el volumen.

Tengo las fórmulas de las integrales de cada componente del tensor, veo que aparecen x, y y z, pero no sé con qué reemplazarlos.

A ver

$\dst\begin{cases}<br /> I_{xx} = \int_M d_x^2 dm = \int_V \rho(y^2+z^2) dxdydz\\ <br /> I_{yy} = \int_M d_y^2 dm = \int_V \rho(z^2+x^2) dxdydz\\<br /> I_{zz} = \int_M d_z^2 dm = \int_V \rho(x^2+y^2) dxdydz \end{cases}$


donde por ejemplo $d_x$ es la distancia al cuadrado que hay desde el elemento diferencial de masa hasta el eje x del sistema de referencia que pasa por el CM, esa distancia proviene de la suma de las componentes al cuadrado en $y$ y en $z$ por Pitágoras , medidas en un plano perpendicular al eje x.

Es decir, pienso "bueno, supongo que donde dice z se refiere a la longitud de la barra en z" pero después me doy cuenta de que si rota no siempre estará la misma parte de la varilla asociada a una misma coordenada. No sé si me explico...

el nombre de la componente refiera al eje a sobre el cual rota, y las distancias como dije se miden en los otros do ejes, ya que se miden en un plano perpendicular a ese eje.

Después, entiendo que esto con varillas es un ejemplo muy tonto, pero qué pasaría si en vez de varillas fueran semicilindros sólidos u objetos más complejos?

Gracias

Solo se complica la integral, ¿cuánto más complejo es el cuerpo, más difícil de calcula, pero siempre se puede hallar un valor numérico aunque sea, en vez de una funciona sobre la cual reemplazar valores. Estos últimos caso, os que si tienen una función, provienen de aplicar simetría y perfiles constantes... por ejemplo puedes ver los momentos de inercial de la principales figuras geométricas en https://forum.lawebdefisica.com/blog...ichard/316751-
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[Like Tony Stark]

$\dst\begin{cases}<br /> I_{xx} = \int_M d_x^2 dm = \int_V \rho(y^2+z^2) dxdydz\\<br /> I_{yy} = \int_M d_y^2 dm = \int_V \rho(z^2+x^2) dxdydz\\<br /> I_{zz} = \int_M d_z^2 dm = \int_V \rho(x^2+y^2) dxdydz \end{cases}$

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Hola Richard! Gracias por tomarte el tiempo de responder.
Estuve leyendo lo que escribiste así que quiero ver si entendí. Te digo cuáles serían las componentes del tensor de inercia de la primera imagen

Ix=int de L^2 dm
Iz=int de L^2 dm
Iy, Ixy, Iyz, Izx=0

Es decir, como la vara se encuentra solo en el eje Y, todas las componentes de X y Z serán 0


En caso de estar en lo correcto, qué hago para la segunda imagen, donde la vara cruza tanto al eje Y como Z

[JCB]

Hola a tod@s.

En mi opinión, el tensor de inercia para la primera varilla, es

$I=\begin{pmatrix}<br /> m\left(\dfrac{L^2}{3}+b^2\right) & 0 & 0\\<br /> 0 & mb^2 & \dfrac{-mLb}{2}\\<br /> 0 & \dfrac{-mLb}{2} & \dfrac{mL^2}{3}<br /> \end{pmatrix}$.

Y para la segunda varilla, también seuo, me da

$I=\begin{pmatrix}<br /> \dfrac{mL^2}{3} & 0 & 0\\<br /> 0 & \dfrac{mL^2}{3}\sin^2\theta & \dfrac{-mL^2}{6}\sin2\theta\\<br /> 0 & \dfrac{-mL^2}{6}\sin2\theta & \dfrac{mL^2}{3}\cos^2\theta<br /> \end{pmatrix}<br />$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Like Tony Stark]

Hola a tod@s.


$I=\begin{pmatrix}<br /> m\left(\dfrac{L^2}{3}+b^2\right) & 0 & 0\\<br /> 0 & mb^2 & \dfrac{-mLb}{2}\\<br /> 0 & \dfrac{-mLb}{2} & \dfrac{mL^2}{3}<br /> \end{pmatrix}$.

$I=\begin{pmatrix}<br /> \dfrac{mL^2}{3} & 0 & 0\\<br /> 0 & \dfrac{mL^2}{3}\sin^2\theta & \dfrac{-mL^2}{6}\sin2\theta\\<br /> 0 & \dfrac{-mL^2}{6}\sin2\theta & \dfrac{mL^2}{3}\cos^2\theta<br /> \end{pmatrix}<br />$.

Saludos cordiales,
JCB.

Hola! Gracias por responder, pero podrías decirme qué valores reemplazaste en las integrales para obtener esos resultados. Eso es lo que no sé hacer

[JCB]

Hola a tod@s.

En la primera varilla,

$I_{xx}=\dst\int r^2dm=\dst\int_{0}^{L}(y^2+b^2)\lambda dy=\dfrac{m}{L}\dst\int_{0}^{L}(y^2+b^2)dy=m\left(\dfrac{L^2}{3}+b^2\right)$.

$I_{yy}=\dst\int r^2dm=\dst\int_{0}^{L}b^2\lambda dy=\dfrac{mb^2}{L}\dst\int_{0}^{L}dy=mb^2$, aunque se podría obtener también directamente por inspección visual, como dice Al2000.

$I_{zz}=\dfrac{mL^2}{3}$ (en tablas).

$I_{xy}=I_{yx}=\dst\int-xydm=0$.

$I_{yz}=I_{zy}=\dst\int-yzdm=-\dst\int_{0}^{L}yb\lambda dy=-\dfrac{mb}{L}\dst\int_{0}^{L}ydy=-\dfrac{mLb}{2}$. Igualmente, podría obtenerse por inspección visual.

$I_{xz}=I_{zx}=\dst\int-xzdm=0$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Like Tony Stark]

En mi opinión, el tensor de inercia para la primera varilla, es

$I=\begin{pmatrix}<br /> m\left(\dfrac{L^2}{3}+b^2\right) &amp; 0 &amp; 0\\<br /> 0 &amp; mb^2 &amp; \dfrac{-mLb}{2}\\<br /> 0 &amp; \dfrac{-mLb}{2} &amp; \dfrac{mL^2}{3}<br /> \end{pmatrix}$.


.

Traté de resolverlo por mi cuenta y coincidimos en resultados excepto por Iy
A mí me dio 1/3 mL^2 (usando Steiner) y a vos te dio mb^2. En qué me equivoqué?

Iy=1/12 mL^2 +m (L/2)^2

Luego, el hecho de que gire y cambie su posición (como en el segundo caso) no hace que cambie el tensor de inercia?

[JCB]

Deberías suprimir lo de "amp", eso no lo he escrito yo.

[JCB]

Hola a tod@s.

LTS (disculpa el acrónimo), si aplicas el teorema de Steiner para $I_{yy}$, deberías obtener $mb^2$. Al tratarse de una varilla unidimensional (no tiene radio), tampoco tiene momento de inercia respecto del eje que pasa por su cdm en sentido longitudinal, esto es,

$I_{yy}=I_G+mb^2=0+mb^2=mb^2$.

Recuerda que el teorema de Steiner, también es conocido como teorema de los ejes paralelos. Por otra parte, las expresiones que has escrito no corresponden a la inercia rotacional del eje que estás considerando (Y). Repásalo en https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Momentos_de_inercia

Saludos cordiales,
JCB.

[Like Tony Stark]

LTS (disculpa el acrónimo), si aplicas el teorema de Steiner para $I_{yy}$, deberías obtener $mb^2$. Al tratarse de una varilla unidimensional (no tiene radio), tampoco tiene momento de inercia respecto del eje que pasa por su cdm en sentido longitudinal, esto es,

$I_{yy}=I_G+mb^2=0+mb^2=mb^2$.


JCB.

Ahh, comprendí! Graciass
(no me molesta lo del acrónimo)


En el caso de la segunda varilla, a medida que va girando su tensor de inercia no debería ir cambiando?