Calcular trabajo realizado por fuerzas.

[delmar7]

No entiendo

Esto es básico y lo enuncio nuevamente el trabajo realizado por una fuerza $\vec{F(t)}$ que actúa sobre una partícula durante un intervalo de tiempo $[0,T]$ es $W_{F(t)}=\int_0^T \ \vec{F(t)} \ o \ \vec{V(t)} \ dt$ donde o indica el producto escalar, en este caso entre la fuerza y la velocidad de la partícula, si $\vec{r(t)}$ representa el vector posición de la partícula en función del tiempo, evidentemente $\vec{V(t)}=\vec{r'(t)}$ es decir la velocidad es la derivada del vector posición y obviamente en este caso, t=0, la posición es $\vec{r(0)}=-R \vec{i}, \ \vec{r(T)}=-R \vec{j}$. Aplicando al problema para obtener el trabajo de la fuerza $\vec{F_C}$ esta fuerza es también una función del tiempo, es una función constante y el vector posición de la partícula por la trayectoria dada (circunferencia) se puede poner $\vec{r(t)}=Rcos \theta \vec{i}+R sen \theta \vec {j}$ donde $\theta(t)$ es una función del tiempo y constituye el ángulo que forma el vector posición de la partícula con el semieje positivo de las X. En consecuencia derivando $\vec{V(t)}=- R sen \theta \ \theta' \ \vec {i}+R cos \theta \ \theta' \ \vec {j}$ entonces se tiene :

$W_{F(t)}=\int_0^T \ \vec{F(t)} \ o \ \vec{V(t)} \ dt=\int_0^T \ (3\vec{i}+ 2 \vec {j}) \ o \ (- R sen \theta \ \theta' \ \vec {i}+R cos \theta \ \theta' \ \vec {j}) \ dt=\int_0^T \ (-3 R sen \theta \ \theta'+2 R cos \theta \ \theta') \ dt$

En este punto se hace un cambio de variable de integración en lugar de integrar respecto a t se procede a integrar respecto a $\theta$ (integración por sustitución o cambio de variable) entonces se tiene :

$W_{F(t)}=\int_0^T \ (-3 R sen \theta \ \theta'+2 R cos \theta \ \theta') \ dt=\int_\pi^{\frac{3 \pi}{2}} \ (-3 R sen \theta +2 R cos \theta ) \ d \theta$ la razón de los límites de integración es el teorema de sustitución y el hecho que $\theta(0)=\pi, \ \theta(T)=\frac{3 \pi}{2}$ continuando con la integración se tiene :

$W_{F(t)}=3R cos \theta |_{\pi}^{\frac{3 \pi}{2}}+2R sen \theta |_{\pi}^{\frac{3 \pi}{2}}=3R-2R=R$

Saludos

Nota : He realizado todo el proceso para que puedas asumir un caso general, es decir fuerza en función del tiempo y claro para movimiento circular.

[JCB]

Sería correcto así?
$dW_Fc=\vec{F_c}\cdot\vec{dr}=F_c \cdot dr\cdot\cos\theta=Fc\cdot R\cdot d\theta\cdot\cos\theta$
$W_{Fc}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} Fc\cdot R\cdot\cos\theta\cdot d\theta$
$\sqrt{13}\cdot 1\cdot\sin\frac{\pi}{2}=\sqrt{13}J$

Hola a tod@s.

No es correcto, porque el ángulo $\theta$ entre $\vec{F_c}$ y $\vec{dr}$, no varía entre y $\dfrac{\pi}{2}$.

$dW_Ft=\vec{F_t}\cdot\vec{dr}=F_t \cdot dr\cdot\cos\theta=Ft\cdot R\cdot d\theta\cdot\cos\theta$
$W_{Ft}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} Ft\cdot R\cdot\cos\theta\cdot d\theta$
$5\cdot 1\cdot\sin\frac{\pi}{2}=5J$

No es correcto, porque el ángulo $\theta$ entre $\vec{F_t}$ y $\vec{dr}$, no varía, sino que es siempre $0^{\circ}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Teniendo en cuenta que $\vec{F_t}$ es siempre paralela al vector desplazamiento $\vec{dr}$, y que el módulo de $\vec{F_t}$ es constante,

$W_t=\displaystyle\int_{A}^{B}\vec{F_t}\vec{dr}=F_t\displaystyle\int_{A}^{B}dr=5\dfrac{\pi}{2}R=\dfrac{5}{2}\pi\ J$

Finalmente, puedes aplicar el teorema de las fuerzas vivas,

$\sum{W}=\Delta E_c$

$W_g+W_c+W_t=\dfrac{1}{2}mv^2$

$v=\sqrt{\dfrac{2(W_g+W_c+W_t)}{m}}=6,11\ m/s$

Saludos cordiales,
JCB.

[medina00]

Una partícula de masa m( 1 kg) parte en reposo desde la posición A y se desliza por un rail semicircular de radio R( 1m ) tal y como se muestra en la figura. Sobre la partícula actúan, además de la gravedad, las fuerzas $\vec{F_c}$ y$\vec{F_t}$. La fuerza $\vec{F_c=}3\hat i + 2\hat j$ (N) es constante. El módulo de la fuerza $\vec{F_t}$ es constante y de valor 5 N, pero su dirección es tangente al recorrido (ver figura). Cuando la partícula llega al punto B, calcular:
a)Trabajo realizado por la fuerza de gravedad. Rpta.: 10 J
b)Trabajo realizado por las fuerzas $\vec{F_t} y \vec{F_c}$
c)Velocidad de la partícula cuando llega al punto B. Rpta.: 6,1 m/s



En el apartado b:
Respectoa la fuerza$\vec{F_t} \rightarrow W_{F_t}=\int F_t \cdot dr \cdot \cos\theta=5\cdot d\theta\cdot \cos\theta$
Respectoa la fuerza$\vec{F_c} \rightarrow W_{F_c}=\int F_c \cdot dr \cdot \cos\theta=\sqrt{13}\cdot d\theta\cdot \cos\theta$
Ambas integrales estudiadas entre $0 ;\pi/2$
Como integraría eso?

Si lo planteo así estaría bien o que me falla??

$W_{fc}=F\cdot D\cdot\cos\theta=\sqrt{13}\cdot \frac{\pi}{2}\cdot\cos78,69$ Si lo hago así por que no me da bien?

[medina00]

Hola a tod@s.

Escribo el cálculo de $W_c$. A ver si así, determinas $W_t$.

Si $\vec{F_c}=3\hat\imath+2\hat\jmath$,

$dW_c=\vec{F_c}\vec{dr}=(3\hat\imath+2\hat\jmath)(dx\hat\imath+dy\hat\jmath)=3dx+2dy$

$W_c=\displaystyle\int_{-R}^{0}3dx+\displaystyle\int_{0}^{-R}2dy=R=1\ J$

Saludos cordiales,
JCB.

Cuando se aplica así no se multiplica por el coseno? Y cuando me dan las coordenadas con vectores unitarios en este caso el módulo de la fuerza sería $\sqrt{(3)^2+(2)^2}=\sqrt{13}$
o eso sería incorrecto?

[JCB]

Hola a tod@s.

Escribo el cálculo de $W_c$. A ver si así, determinas $W_t$.

Si $\vec{F_c}=3\hat\imath+2\hat\jmath$,

$dW_c=\vec{F_c}\vec{dr}=(3\hat\imath+2\hat\jmath)(dx\hat\imath+dy\hat\jmath)=3dx+2dy$

$W_c=\displaystyle\int_{-R}^{0}3dx+\displaystyle\int_{0}^{-R}2dy=R=1\ J$

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Exacto: el trabajo de una fuerza conservativa (como es la fuerza de la gravedad), es igual a la variación de la energía potencial, cambiada de signo.

[medina00]

Hola a tod@s.

Te indico como calcularía yo el trabajo de la fuerza de la gravedad. A ver si te animas con las demás fuerzas.

$dW_g=\vec{P}\vec{dr}=Pdr\cos\theta=PRd\theta\cos\theta$

$W_g=\displaystyle\int_{0^{\circ}}^{90^{\circ}}PR\cos\theta d\theta=PR\sin\theta\Big]_{0^{\circ}}^{90^{\circ}}=PR=9,8\ J$

Quizás un tratamiento vectorial, sea más adecuado para este ejercicio.

$dW_g=\vec{P}\vec{dr}=-P\hat\jmath(dx\hat\imath+dy\hat\jmath)=-Pdy$

$W_g=\displaystyle\int_{y_1}^{y_2}-Pdy=P(y_1-y_2)=9,8\ J$

Saludos cordiales,
JCB.

Y para sacar el trabajo de la fuerza podría usar directamente:
$m\cdot g\cdot h_a -(m\cdot g\cdot h_b)$??

[medina00]

Hola a tod@s.

Te indico como calcularía yo el trabajo de la fuerza de la gravedad. A ver si te animas con las demás fuerzas.

$dW_g=\vec{P}\vec{dr}=Pdr\cos\theta=PRd\theta\cos\theta$

$W_g=\displaystyle\int_{0^{\circ}}^{90^{\circ}}PR\cos\theta d\theta=PR\sin\theta\Big]_{0^{\circ}}^{90^{\circ}}=PR=9,8\ J$

Saludos cordiales,
JCB.

Sería correcto así?
$dW_Fc=\vec{F_c}\cdot\vec{dr}=F_c \cdot dr\cdot\cos\theta=Fc\cdot R\cdot d\theta\cdot\cos\theta$
$W_{Fc}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} Fc\cdot R\cdot\cos\theta\cdot d\theta$
$\sqrt{13}\cdot 1\cdot\sin\frac{\pi}{2}=\sqrt{13}J$

$dW_Ft=\vec{F_t}\cdot\vec{dr}=F_t \cdot dr\cdot\cos\theta=Ft\cdot R\cdot d\theta\cdot\cos\theta$
$W_{Ft}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} Ft\cdot R\cdot\cos\theta\cdot d\theta$
$5\cdot 1\cdot\sin\frac{\pi}{2}=5J$

[JCB]

Hola a tod@s.

Te indico como calcularía yo el trabajo de la fuerza de la gravedad. A ver si te animas con las demás fuerzas.

$dW_g=\vec{P}\vec{dr}=Pdr\cos\theta=PRd\theta\cos\theta$

$W_g=\displaystyle\int_{0^{\circ}}^{90^{\circ}}PR\cos\theta d\theta=PR\sin\theta\Big]_{0^{\circ}}^{90^{\circ}}=PR=9,8\ J$

Quizás un tratamiento vectorial, sea más adecuado para este ejercicio.

$dW_g=\vec{P}\vec{dr}=-P\hat\jmath(dx\hat\imath+dy\hat\jmath)=-Pdy$

$W_g=\displaystyle\int_{y_1}^{y_2}-Pdy=P(y_1-y_2)=9,8\ J$

Saludos cordiales,
JCB.

[medina00]

Hola

¿De donde vienen esas fórmulas del trabajo para las fuerzas $F_c, \ F_t$? En general el trabajo de una fuerza $\vec{F}$ sobre una partícula durante el intervalo de tiempo $[0,T]$ se obtiene de la siguiente expresión $W_F=\int_0^T \ \vec{F(t)} \ . \ \vec{V(t)} \ dt$, en este caso $\vec{r(0)}=-R \vec{i}, \ \vec{r(T)}=-R \vec{j}$ donde $\vec{r(t)}$ es el vector posición en un instante t , aplica estas fórmulas y llegarás a la respuesta.

Saludos

No entiendo

[delmar7]

Hola

¿De donde vienen esas fórmulas del trabajo para las fuerzas $F_c, \ F_t$? En general el trabajo de una fuerza $\vec{F}$ sobre una partícula durante el intervalo de tiempo $[0,T]$ se obtiene de la siguiente expresión $W_F=\int_0^T \ \vec{F(t)} \ . \ \vec{V(t)} \ dt$, en este caso $\vec{r(0)}=-R \vec{i}, \ \vec{r(T)}=-R \vec{j}$ donde $\vec{r(t)}$ es el vector posición en un instante t , aplica estas fórmulas y llegarás a la respuesta.

Saludos

[medina00]

Hola medina00 el dibujo que has intentado insertar no se ve. Por favor edita el hilo he inserta correctamente el esquema, utilizando las instrucciones de Cómo adjuntar imágenes en la nueva versión vB5 del foro

Nota que también te has dejado un corchete [/tex] después de [tex]\vec F_c para que se vea así $\vec F_c$

Saludos.

Corregido, gracias!

[Alriga]

Hola medina00 el dibujo que has intentado insertar no se ve. Por favor edita el hilo e inserta correctamente el esquema, utilizando las instrucciones de Cómo adjuntar imágenes en la nueva versión vB5 del foro

Nota que también te has dejado un corchete [/tex] después de [tex]\vec F_c para que se vea así $\vec F_c$

Saludos.

[medina00]

Una partícula de masa m( 1 kg) parte en reposo desde la posición A y se desliza por un rail semicircular de radio R( 1m ) tal y como se muestra en la figura. Sobre la partícula actúan, además de la gravedad, las fuerzas $\vec{F_c}$ y$\vec{F_t}$. La fuerza $\vec{F_c=}3\hat i + 2\hat j$ (N) es constante. El módulo de la fuerza $\vec{F_t}$ es constante y de valor 5 N, pero su dirección es tangente al recorrido (ver figura). Cuando la partícula llega al punto B, calcular:
a)Trabajo realizado por la fuerza de gravedad. Rpta.: 10 J
b)Trabajo realizado por las fuerzas $\vec{F_t} y \vec{F_c}$
c)Velocidad de la partícula cuando llega al punto B. Rpta.: 6,1 m/s



En el apartado b:
Respectoa la fuerza$\vec{F_t} \rightarrow W_{F_t}=\int F_t \cdot dr \cdot \cos\theta=5\cdot d\theta\cdot \cos\theta$
Respectoa la fuerza$\vec{F_c} \rightarrow W_{F_c}=\int F_c \cdot dr \cdot \cos\theta=\sqrt{13}\cdot d\theta\cdot \cos\theta$
Ambas integrales estudiadas entre $0 ;\pi/2$
Como integraría eso?