Péndulo físico

[garcialopezmanuel753]

Estoy resolviendo ejercicios de movimiento armónico que figuran en mi boletín y aparece este problema de péndulo físico que no logro resolver. El problema dice así:
Dos barras delgadas, cada una de longitud L y masa m, están unidas en la forma indicada en la figura, constituyendo una T. Dos orificios, en ángulo recto atraviesan una de las varillas en la forma indicada. Hállese el período de oscilación si el sistema se pone en vibración como un péndulo físico: a) alrededor de un eje horizontal que pasa por el orificio practicado en la cara A; b) alrededor de un eje horizontal que pasa por el orificio B. Supóngase en ambos casos amplitudes pequeñas.

Creo que lo primero será establecer los momentos de inercia de las barras, pero no sé si eso es correcto dado que se hallan unidas. En fin, que estoy liado. Si alguien pudiera ayudarme se lo agradeceré.

[JCB]

Hola a tod@s.

Empezaría por determinar el centro de masa del conjunto respecto del extremo superior de la barra vertical, que me da

$$y_{cdm}=\dfrac{3}{4}l$$

Separando ligeramente las barras de su posición de equilibrio, aplicas $\sum{M}=I\ddot{\theta}$

$-2mgy_{cdm}\sin\theta=I\ddot{\theta}$. Sustituyendo (1) y considerando que el ángulo es muy pequeño, $\sin\theta\approx\theta$,

$-2mg\dfrac{3}{4}l\theta=I\ddot{\theta}$

$\ddot{\theta}=-\dfrac{3mgl}{2I}\theta$. Un m.a.s. con una pulsación $\omega=\sqrt{\dfrac{3mgl}{2I}}$ y un período $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

Ahora solo queda la parte de sustituir el momento de inercia adecuado para cada una de las dos situaciones.

Saludos cordiales,
JCB.

[garcialopezmanuel753]

Gracias por la respuesta. Ahora el momento de inercia me da I_A = (17/12)*m*l² ;y por lo tanto, el período de oscilación alrededor del eje A será: T_A = (2/3)*π*√[((17/2)*(L /g)].
Pero en el boletín la solución dice que es (8/3)*π*√(L /g). No entiendo si hice todos los pasos correctamente, ¿por qué no llego a esa solución? ¿O será que está incorrecta la solución de mi boletín?

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque me ha parecido lo menos interesante del ejercicio, a mí me da

$I_A=\dfrac{4}{3}ml^2$ e $I_B=\dfrac{17}{12}ml^2$. De todas maneras, lo revisaré.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

a) alrededor de un eje horizontal que pasa por el orificio practicado en la cara A;
b) alrededor de un eje horizontal que pasa por el orificio B. Supóngase en ambos casos amplitudes pequeñas.

Los momentos de inercia son diferentes debes llegar a periodos diferentes.

[garcialopezmanuel753]

Es cierto lo que dices, pero en ninguno de los dos me da el resultado que figura en mi boletín. El apartado a) ya lo incluí en el comentario #3. El apartado b) me da que el período de oscilación es: (2/3)π√[(13/2)(L /g)], cuando en mi boletín figura: (2/3)π√(17L/g). Ya llevo borroneado una hoja completa; esto demanda mucha corrección.

[Richard R Richard]

En el apartado A

$I_A=\dfrac{mL^2}{3}+mL^2=\dfrac{4mL^2}{3}$

el centro e gravedad esta en $h=\dfrac{mL/2+mL}{2m}=\dfrac{3}{4}L$

Luego $T_A=2\pi\sqrt{\dfrac{I_A}{mgh}}=2\pi\sqrt{\dfrac{\frac43mL^2}{mg\frac34L}}=2\pi\sqrt{\dfrac{16L}{9g}}=\boxed{\dfrac{8}{3}\pi\sqrt{\dfrac Lg}}$


Para el apartado B

$I_B=\dfrac{mL^2}{3}+\dfrac{mL^2}{12}+\overbrace{mL^2}^{steiner}=\dfrac{17mL^2}{12}$

el centro de gravedad está también en $h=\dfrac{mL/2+mL}{2m}=\dfrac{3}{4}L$

Luego $T_B=2\pi\sqrt{\dfrac{I_B}{mgh}}=2\pi\sqrt{\dfrac{\frac{17}{12}mL^2}{mg\frac34L}}=2\pi\sqrt{\dfrac{17L}{9g}}=\boxed{\dfrac{2}{3}\pi\sqrt{\dfrac {17L}g}}$

[garcialopezmanuel753]

¡Gracias! ¡Enhorabuena! Al fin se llega al resultado de mi boletín.
Y revisando mi planteo me he dado cuenta dónde se hallaba mi error, utilicé la masa del sistema como si fuera la suma de las masas de las dos barras y no como una masa única.

[JCB]

Hola a tod@s.

Pues siento discrepar, pero una vez revisados mis resultados, no coinciden con los del solucionario. A ver si me podéis ayudar a encontrar mi error. Pero vayamos por partes.

Primero, ayudándome de este sencillo croquis, deduje la expresión de la pulsación (o frecuencia angular).



Lo resumo para no volver a repetir lo que escribí en el mensaje # 2:

$-2mgy_{cdm}\sin\theta=I\ddot{\theta}$. Obteniendo $\omega=\sqrt{\dfrac{3mgl}{2I}}$

Después, como $I_A=\dfrac{4}{3}ml^2$, $T_A=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{32l}{g}}$

De igual manera, como $I_B=\dfrac{17}{12}ml^2$, $T_B=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{34l}{g}}$

Gracias y saludos cordiales,

JCB.

[Richard R Richard]

$-2mgy_{cdm}\sin\theta=I\ddot{\theta}$. Sustituyendo (1) y considerando que el ángulo es muy pequeño, $\sin\theta\approx\theta$,

Hola, el primer 2 estaría demás.

https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsico

[Richard R Richard]

No.En los momentos de inercia se van sumando los momentos de cada Barra de masa $m$,Estan Bien, pero la masa total del péndulo es $2m$ , por lo que todos los resultados que obtuve de los periodos deben ser divididos por $\sqrt{2}$

[JCB]

El sentido de mi último comentario (# 10.2) era el siguiente: si consideraste que la masa total del conjunto era m, deberías haber calculado el momento de inercia de cada barra, pero con masa m/2 para cada una de ellas. Cuestión de coherencia.

[Richard R Richard]

Si, claro por supuesto, se obtiene el mismo resultado... todos los resultados que obtuve de los periodos deben ser divididos por $\sqrt2$ y no se corresponden con el solucionario, el que lo propuso tuvo la misma falla que yo.

[JCB]

Hola, el primer 2 estaría demás.

https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsico

Hola a tod@s.

Diría que no está de más, porque cada barra tiene una masa $m$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Ha sido un ejercicio interesante, con un giro final. Una conclusión que podemos extraer, es que siempre es mejor plantear la situación con todos los datos del enunciado, en lugar de aplicar directamente la fórmula que nos puede suministrar la Wikipedia (o algún libro).

Ahora queda pendiente que garcialopezmanuel753, nos explique qué ha sucedido después de comentarlo con su profesor.

Saludos cordiales,
JCB.

[garcialopezmanuel753]

Antes que nada decir que me gustó ese intercambio de ideas entre dos titanes del foro. Parecía como si lo hicieran Planck y Bohr . Respecto a mis apuntes, nada más llegar al resultado de mi boletín, todas las ideas que había acopiado terminaron en el cesto de basura . Error mío. Dar por sentado un resultado por el sólo hecho de coincidir con la respuesta sin tomarme el tiempo de verificarlo in situ.
Veré de planteárselo a mi profesor para que lo exponga en la clase, así todos tomamos conocimiento del error subyacente.
Saludos.

[garcialopezmanuel753]

Luego de de un debate prolongado y de sesudos análisis, el profesor llegó a la conclusión que el resultado del boletín es...incorrecto. Por lo tanto, el resultado definitivo es el siguiente:
El período de oscilación alrededor del eje A será:$\boxed {T_A = \frac{4}{3}\pi \sqrt{\frac{2L}{g}}}$ ; y
el período de oscilación alrededor del eje B será:$\boxed {T_B = \frac{2}{3}\pi \sqrt{\frac{17L}{2g}}}$

[JCB]

Hola a tod@s.

Pues qué bien, garcialopezmanuel753, coinciden estos resultados con los que indiqué de manera explícita en el mensaje # 9, y derivaban del planteamiento que expuse en el mensaje # 2.

Gracias por compartirlos. Quedo a la espera de que propongas algún otro ejercicio similar a éste, con el cual pienso disfrutar, si cabe, todavía más.

Saludos cordiales,
JCB.