1r ciclo Mecanica Lagrangiana 2

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Hola me podeis ayudar con el apartado d de este ejercicio.

una particula puntual de masa m se desliza sin frición bajo la influencia de la gravedad por un alambre con la forma de un cicloide, cuya ecuación paramétrica es:
$x = a (\theta - \sin\theta )$,
$y = a ( a + \cos\theta)$, con $0 < \theta < 2\pi$.


a) Determinar los grados de libertad y la energía cinética.
Al tratarse de una particula tendría tres grados de libertad, pero al estar sujeta al eje x e y, tendria solo un grado de libertad.

$T = \frac{1}{2 } m \dot{r} = m {a}^{ 2} {( 1 -\cos\theta)}{{\dot {\theta}}^{2 } }$

b ) Encontrar el Lagrangiano.

$L = T - V$ como $V = m g a ( 1 + \cos\theta)$ entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

c) Obtener la ecuación de movimiento.

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } \frac{\partial L}{\partial \dot {\theta}}- \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$ = $2 (1 - \cos\theta) \ddot {\theta} + \sin\theta {\dot{\theta}}^{2 } - \frac{g}{ a}\sin\theta = 0$

y este sería el apartado que no sé como se hace:

Haciendo el cambio $u = \cos(\frac{\theta}{2 })$, demostrad que la ecuación encontrada en (c) se puede escribir en la forma:
$\frac{\mathrm{d^2}u }{\mathrm{d}t^2 } + \frac{g}{ 4a} u = 0$
con lo cual la particula con periodo $t= 4\pi\sqrt{\frac{a}{ g}}$. a la luz de este resultado comentar si el cicloide tiene la propiedad tautócrana ( un objeto dejado en cualquier punto del cicloide llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida).