1r ciclo Equilibrio de una particula

[Macbereth]

Bueno el problema es el siguiente, tengo una particula encerrada en un cono con un àngulo $\alpha$ al encontrar el lagrangiano del sistema saque las ecuaciones de Hamilton (con la conservacion del momento...
$H=\frac{{P_r}^{2} }{2m{Csc}^{2}\alpha}+\frac{{\ell }^{2} }{2m{r}^{ 2}}+mgrCot\alpha$
Aqui es donde surge mi primera duda ya que esta aprte no le entendi bien al profesor, ya que dice q hay un radio maximo y un radio minimo, y no veo los argumentos para decir dicho argumento.
Cuando detemrino el punto de equilibrio del potencial efectivo
$U(r)=\frac{{\ell}^{2}}{2m{r}^{2}}+mgrCot\alpha$
Me salio el punto critico con:
$r_0={-\frac{{\ell }^{2} }{2g{m}^{2} Cot\alpha} }^{1/3}$
PEro no se como determinar las trayectorias alrededor de este punto, cuando grafique el potencial efectivo me salio como un parabola medio chueca jajaja, bueno la idea es q deberia de ser una elipse o algo similar, pero no se como plantearlas, si evaluarla en el potencial y resolver la ecduacion de primer orden ya que puedo expresar:
$E=\frac{m{Csc}^{2}\alpha \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}t }}{2} +\frac{{\ell}^{2} }{2m{r}^{2} }+mgrCot\alpha$