Fuerza central

[arivasm]

Re: Fuerza central

El lagrangiano se define como $L=K-V$, siendo K la energía cinética y V la energía potencial. En este caso el problema está sólo en la forma de la energía cinética en coordenadas esféricas. Como el ejercicio busca que se deduzca, sólo indicaré el camino, que no es nada complicado. Basta con escribir la transformación de coordenadas esféricas a cartesianas:

$x = r \sin \theta \cos \phi$
$y = r \sin \theta \sin \phi$
$z = r \cos \theta$

Derivando respecto del tiempo tenemos que, por ejemplo para x:

$\dot x = \dot r \sin \theta \cos \phi +r \dot \theta \cos \theta \cos \phi - r \dot \phi \sin \theta \sin \phi$

Dejo y y z para que nadie me recuerde que las normas del foro prohíben resolverle explícitamente los problemas que le ponen a la gente en sus clases.

Ahora sólo hace falta, con algo de paciencia, calcular el cuadrado de la velocidad. Es un desarrollo un poco largo, pero nos encontraremos con muchos sen²+cos² y también con términos que se cancelan. Al final debemos concluir que:

$v^2={\dot x}^2+{\dot y}^2+{\dot z}^2 = {\dot r}^2+r^2{\dot \theta}^2 + r^2 {\dot \phi}^2 \sin^2 \theta$

De esta manera, finalmente tendremos que

$L=\dst \frac{1}{2}m \left( {\dot r}^2+r^2{\dot \theta}^2 + r^2 {\dot \phi}^2 \sin^2 \theta \right) - \dst \frac{k}{r}$

Para encontrar el hamiltoniano se puede recurrir a su definición, que en coordenadas cartesianas toma esta forma:

$H=\dot x \dst \frac{\partial L}{\partial \dot x} + \dot y \dst \frac{\partial L}{\partial \dot y}+\dot z \dst \frac{\partial L}{\partial \dot z}- L = m\left( {\dot x}^2+{\dot y}^2+{\dot z}^2\right)-L=K+U$

es decir, debemos obtener que

$H=\dst \frac{1}{2}m \left( {\dot r}^2+r^2{\dot \theta}^2 + r^2 {\dot \phi}^2 \sin^2 \theta \right) + \dst \frac{k}{r}$

Sin embargo, me da la sensación de que el ejercicio pretende que se haga pero recurriendo a las coordenadas esféricas

$H=\dot r \dst \frac{\partial L}{\partial \dot r} + \dot \theta \dst \frac{\partial L}{\partial \dot \theta}+\dot \phi \dst \frac{\partial L}{\partial \dot \phi}- L$

y comprobar que el resultado es el mismo. En cualquier caso, te recomiendo que lo compruebes, pues es realmente fácil e instructivo.

Saludos!

[minidu]

Re: Fuerza central

No sé nada de langragianos y hamiltonianos aún, pero mientras alguien que sepa te responde te diré lo que yo pienso.
La función de potencial es exactamente la típica de las fuerzas que van como $k/r^2$ Bueno además derivando te sale eso, la fuerza. Como sólo depende de la distancia r y es proporcional, es una fuerza central como pusiste en el título y por ello se conserva el momento angular, luego el movimiento como te han dicho estará confinado en un plano.

[carlospimart]

Re: Fuerza central

de hecho pongo el ejercicio:

Una partıcula de masa m se mueve en un campo de fuerzas esfericamente simetrico cuya
energıa potencial viene dada por: V(r) = −k/r.
a) Obtener el lagrangiano y el hamiltoniano del sistema en coordenadas esfericas.

[carlospimart]

Re: Fuerza central

lo siento mucho! mea culpa!

El potencial es tiene el siguiente aspecto:

v(x)= - k/r (donde r es el radio y k una constante)

no existe ninguna fuerza actuando sobre la particula aparte del potencial que es central con simetria esferica.

en el problema me piden el lagrangiano y hamiltoniano en coordenadas esfericas, el problema es que e visto en este articulo de wikipedia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Dispers..._campo_central

que como podeis ver lo resuelve en coordenadas polares planas.

a mi entender deberiamos usar coordenadas esfericas...¿no?, ya que la particula se mueve en el espacio tridimensional. no existe ninguna ligadura que obligue a la particula a moverse en un plano..¿no?

[guibix]

Re: Fuerza central

Buenas carlospimart

v(x)=1/k

¿$k$ es una constante o un radio o qué es?

¿porque si la simetría es esférica las coordenadas generalizadas que se utilizan para su resolución son coordenadas polares planas?

Quizás porqué solo hace falta dos dimensiones para un movimiento de este tipo. Todo el movimiento de la partícula (si no hay otras fuerzas) "sucede" en el plano que contiene al mismo tiempo, los dos centros de masas y el vector de velocidad inicial. No hace falta una tercera dimensión.

[carlospimart]

tengo una duda sobre cierto problema, se me pide que obtenga las ecuaciones del movimiento de una particula sometida ha un potencial central v(x)=1/k con simetría esférica, mi pregunta es...
¿porque si la simetría es esférica las coordenadas generalizadas que se utilizan para su resolución son coordenadas polares planas?