Divulgación Cinemática: Definiciones y Relaciones de Magnitudes Lineales, Radiales y Escalares

[Kinetico]

$\;$

i) Las definiciones de las magnitudes lineales, radiales y escalares de un par de partículas $ij$, donde ${\vec{\mathit{r}}}_{i}$ y ${\vec{\mathit{r}}}_{j}$son las posiciones de las partículas $i$ y $j$, son como sigue:

$\S$ La posición lineal ${\vec{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij}$, la velocidad lineal ${\vec{\mathit{v}}}_{\hspace{+0.060em}ij}$ y la aceleración lineal ${\vec{\mathit{a}}}_{\hspace{+0.060em}ij}$, están dadas por:

${\vec{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \doteq ({\vec{\mathit{r}}}_{i} - {\vec{\mathit{r}}}_{j})$

${\vec{\mathit{v}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \doteq d(\hspace{+0.045em}{\vec{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij})/dt = ({\vec{\mathit{v}}}_{i} - {\vec{\mathit{v}}}_{j})$

${\vec{\mathit{a}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \doteq d^2(\hspace{+0.045em}{\vec{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij})/dt^2 = ({\vec{\mathit{a}}}_{i} - {\vec{\mathit{a}}}_{j})$

$\S$ La posición radial ${\mathit{r}}_{\hspace{+0.060em}ij}$, la velocidad radial ${\dot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij}$ y la aceleración radial ${\ddot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij}$, están dadas por:

${\mathit{r}}_{\hspace{+0.060em}ij} \doteq | {\vec{\mathit{r}}}_{i} - {\vec{\mathit{r}}}_{j} |$

${\dot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \doteq d(\hspace{+0.045em}{\mathit{r}}_{\hspace{+0.060em}ij})/dt = [ \, ({\vec{\mathit{v}}}_i - {\vec{\mathit{v}}}_j) \cdot ({\vec{\mathit{r}}}_i - {\vec{\mathit{r}}}_j) \, ] / | {\vec{\mathit{r}}}_i - {\vec{\mathit{r}}}_j |$

${\ddot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \doteq d^2(\hspace{+0.045em}{\mathit{r}}_{\hspace{+0.060em}ij})/dt^2$

${\ddot{\mathit{r}}}_{ij} = [ \, ({\vec{\mathit{a}}}_i - {\vec{\mathit{a}}}_j) \cdot ({\vec{\mathit{r}}}_i - {\vec{\mathit{r}}}_j) + ({\vec{\mathit{v}}}_i - {\vec{\mathit{v}}}_j) \cdot ({\vec{\mathit{v}}}_i - {\vec{\mathit{v}}}_j) - [ ({\vec{\mathit{v}}}_i - {\vec{\mathit{v}}}_j) \cdot ({\vec{\mathit{r}}}_i - {\vec{\mathit{r}}}_j) ]^2 \hspace{-0.06em} / ({\vec{\mathit{r}}}_i - {\vec{\mathit{r}}}_j)^2 \, ] / | {\vec{\mathit{r}}}_i - {\vec{\mathit{r}}}_j |$

$\S$ La posición escalar ${\tau}_{\hspace{+0.060em}ij}$, la velocidad escalar ${\dot{\tau}}_{\hspace{+0.060em}ij}$ y la aceleración escalar ${\ddot{\tau}}_{\hspace{+0.060em}ij}$, están dadas por:

${\tau}_{\hspace{+0.060em}ij} \doteq \frac{1}{2} \; ({\vec{\mathit{r}}}_{i} - {\vec{\mathit{r}}}_{j}) \cdot ({\vec{\mathit{r}}}_{i} - {\vec{\mathit{r}}}_{j})$

${\dot{\tau}}_{\hspace{+0.060em}ij} \doteq d(\hspace{+0.045em}{\tau}_{\hspace{+0.060em}ij})/dt = ({\vec{\mathit{v}}}_{i} - {\vec{\mathit{v}}}_{j}) \cdot ({\vec{\mathit{r}}}_{i} - {\vec{\mathit{r}}}_{j})$

${\ddot{\tau}}_{\hspace{+0.060em}ij} \doteq d^2(\hspace{+0.045em}{\tau}_{\hspace{+0.060em}ij})/dt^2 = ({\vec{\mathit{a}}}_{i} - {\vec{\mathit{a}}}_{j}) \cdot ({\vec{\mathit{r}}}_{i} - {\vec{\mathit{r}}}_{j}) \hspace{+0.060em}+\hspace{+0.060em} ({\vec{\mathit{v}}}_{i} - {\vec{\mathit{v}}}_{j}) \cdot ({\vec{\mathit{v}}}_{i} - {\vec{\mathit{v}}}_{j})$

ii) Las relaciones entre las magnitudes lineales, radiales y escalares de un par de partículas $ij$, pueden ser obtenidas a partir de las definiciones anteriores, son como sigue:

${\tau}_{\hspace{+0.060em}ij} = \frac{1}{2} \: {\mathit{r}}_{\hspace{+0.060em}ij} \, {\mathit{r}}_{\hspace{+0.060em}ij} = \frac{1}{2} \: {\vec{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \cdot {\vec{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij}$

${\dot{\tau}}_{\hspace{+0.060em}ij} = {\dot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \, {\mathit{r}}_{\hspace{+0.060em}ij} = {\vec{\mathit{v}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \cdot {\vec{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij}$

${\ddot{\tau}}_{\hspace{+0.060em}ij} = {\ddot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \, {\mathit{r}}_{\hspace{+0.060em}ij} + {\dot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \, {\dot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij} = {\vec{\mathit{a}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \cdot {\vec{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij} + {\vec{\mathit{v}}}_{\hspace{+0.060em}ij} \cdot {\vec{\mathit{v}}}_{\hspace{+0.060em}ij}$

iii) Las magnitudes $[ \: {\vec{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij}, {\mathit{r}}_{\hspace{+0.060em}ij}, {\dot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij}, {\ddot{\mathit{r}}}_{\hspace{+0.060em}ij}, {\tau}_{\hspace{+0.060em}ij}, {\dot{\tau}}_{\hspace{+0.060em}ij}$ y ${\ddot{\tau}}_{\hspace{+0.060em}ij} \: ]$ son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales.

$\;$