Otras carreras Ecuación de Hamilton-Jacobi, la función-funcional acción

[alexpglez]

Hola, estoy intentando variar la acción frente al tiempo y las trayectorias.

$$S(q_j,t)=\int_{t_0}^t L(q_j(t'),\dot q_j(t'), t')dt'$$

$$\Delta S=\int_{t_0}^{t+\Delta t} L(q_j(t')+\Delta q_j(t'), \dot q_j(t')+\Delta \dot q_j(t'), t')dt'-\int_{t_0}^t L(q_j(t'),\dot q_j(t'), t')dt'$$

Haciendo una expansión de primer término en $\Delta q_j(t')$ separando primero la integral:

$$\Delta S=\int_{t_0}^{t+\Delta t} (L+\delta L)dt'-\int_{t_0}^t Ldt'= \int_{t_0}^{t} (L+\delta L)dt' +\int_{t}^{t+\Delta t} (L+\delta L)dt' - \int_{t_0}^t Ldt'$$

$$\Delta S=\int_{t_0}^{t} \delta Ldt' +\int_{t}^{t+\Delta t} (L+\delta L)dt'$$

La primera integral:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Ahora bien, debido a las ecuaciones euler-lagrange, el integrando del primer término es 0, el segundo término evaluado en t_0 también se marcha por las condiciones de la variación en los extremos, luego finalmente:

$$\int_{t_0}^{t} \delta Ldt'=\sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\Delta q_j=\sum_j p_j \Delta q_j$$

A lo que me es complicado llegar es a que, en primera aproximación:

$$\int_{t}^{t+\Delta t} (L+\delta L)dt'=-H\Delta t$$

Y entonces, considerando ahora la acción como función de las coordenadas:

$$dS=\sum_j p_j d q_j -H dt$$

Si alguien me puede ayudar a hacer el cálculo 1, gracias.

- - - Actualizado - - -

Mmm, estoy releyendo el Goldstein y parece que veo el error. En el Landau lo detalla de la siguiente manera:
Dado que:

$$S=\int_{t_0}^t L dt'$$

$$\frac{dS}{dt}=L$$

Ya calculamos que:

$$\frac{\partial S}{\partial q_j}=p_j$$

Pero:

$$\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial q_j}\dot q_j + \frac{\partial S}{\partial t} \;\;\; L=\sum_j p_j \dot q_j+\frac{\partial S}{\partial t}$$

Y: $H=\sum_j p_j \dot q_j-L$ Entonces: $H=-\frac{\partial S}{\partial t}$

Por lo que leo del Goldstein, mi error estriba en que hay que diferenciar entre $\delta q$ y $\Delta q$, mientras el primero es arbitrario, el segundo además de ser arbitrario tiene en cuenta la variación temporal.