2o ciclo Geodésicas

[arreldepi]

Hola!
Tengo una duda sobre cómo debería hacer el siguiente ejercicio:

Me pide que demuestre que los mieridianos de una esfera son curvas geodésicas. Yo lo que hago es hacer el transporte paralelo de un vector de la base sobre sí mismo ($r=1$):

$$\left\{\begin{aligned}&\vec a = \vec e_{\theta} = (1,0) \\ & \vec u = \vec e_{\theta} = (1,0)\end{aligned}\right. \quad\Rightarrow \quad \nabla_{\vec u} \vec a = 0\quad\to\quad u^j\nabla_j a^i = u^j\nabla_j a^i + u^j\Gamma^{i}_{kj}a^k = 0$$

Si no me he equivocado, llego al siguiente sistema de ecuaciones (todas las derivadas son respecto de $\theta$):

$$\left\{\begin{aligned}&\dot a^\theta = 0\\ & \dot a^\phi = -\cot\theta a^\phi\end{aligned}\right.$$

De donde me sale que $a^\theta = C_1$ y que $a^\phi = C_2\csc\theta$

Si impongo como condiciones iniciales que $\vec a(0,\phi_0) = (1,0)$, me queda que $C_1 = 1$ y que $C_2 = 0$.

Lo cual significa que el vector de la base no ha cambiado. Yo creo que así se podría demostrar, aunque no estoy del todo convencido.

Bastaría con haber sustituido directamente $a^\theta$ y $a^\phi$ en la definición de transporte paralelo y ver que ya daba cero?

Muchas Gracias!