Divulgación cuanto vale ó que rayos significa $\frac{d}{db}\left(\boldsymbol{b}\right)$

[natanael]

ayer como a las tres de la mañana quería llegar a $E=mc^2$ de manera vectorial y SUPERENETENDIBLE para cualquier persona, pero quevá!, llegue a dos cosas locas: 1) $\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)=$?, 2) ¿$\boldsymbol{v}=-\left[v\right]\boldsymbol{\hat{v}}$?. lo que hice está a continuación, pero está muy pero muuuy laaargo, si quieren mejor lean este pequeño resumen para ver si me pueden ayudar:

1) diagmos que tenemos dos vectores $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$ y la función vectorial $\boldsymbol{a}=f(b)\boldsymbol{b}$, entonces $\frac{d}{db}\left(\boldsymbol{a}\right)=\left[\frac{d}{db}\left(f(b)\right)\right]\boldsymbol{b}+\left[f(b)\right]\frac{d}{db}\left(\boldsymbol{b}\right)$, pero... cuanto vale ó que rayos significa $\frac{d}{db}\left(\boldsymbol{b}\right)$

2) y $\boldsymbol{v}=-\left[v\right]\boldsymbol{\hat{v}}$ si debe ser un error pero no logro verlo, está como por la mitad de las siguientes cuentas:


$w\equiv\int\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$, pero $\boldsymbol{F}\equiv\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{P}\right)$,
así que $K\equiv\int\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot d\boldsymbol{r}$,
ahora necesito saber si $\int\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot d\boldsymbol{r}=\int\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot d\boldsymbol{P}$
, así que recurrimos al hecho de que

$\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}(t)\equiv(P_{1}(t),P_{2}(t),P_{3}(t))\equiv P_{i}(t)$,
analogamente para $\boldsymbol{r}$, ahora, $\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{P}\right)\equiv\frac{\partial}{\partial t}\left(P_{i}(t)\right)$
y $d\boldsymbol{r}\equiv d\left(r_{i}(t)\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(r_{i}(t)\right)dt$,
por otro lado, tenemos que el producto $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$
en notación indicial se define como $\stackrel[i=1]{3}{\sum}a_{i}b_{i}$,
de tal forma que $\int\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot d\boldsymbol{r}\equiv\stackrel[i=1]{3}{\sum}\int\frac{\partial}{\partial t}\left(P_{i}(t)\right)\frac{\partial}{\partial t}\left(r_{i}(t)\right)dt=\stackrel[i=1]{3}{\sum}\int\frac{\partial}{\partial t}\left(r_{i}(t)\right)\frac{\partial}{\partial t}\left(P_{i}(t)\right)dt$
y como $d\boldsymbol{P}\equiv d\left(P_{i}(t)\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(P_{i}(t)\right)dt$,
entonces,

$\int\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot d\boldsymbol{r}\equiv\stackrel[i=1]{3}{\sum}\int\frac{\partial}{\partial t}\left(r_{i}(t)\right)d\left(P_{i}(t)\right)\equiv\int\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot d\boldsymbol{P}$

pero $\boldsymbol{v}\equiv\frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{r}\right)$,
y, relativisticamente $\boldsymbol{P}\equiv m(v)\boldsymbol{v}$ donde
$m(v)=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}$, ergo,
$\boldsymbol{P}\equiv\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\boldsymbol{v}$,
de allí que

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)=\overbrace{\left[\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)\right]\boldsymbol{v}}^{\boldsymbol{t}_{1}}+\overbrace{\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)}^{\boldsymbol{t}_{2}}$,
desarrollemos el primer término

$\boldsymbol{t}_{1}=\left[\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)\right]\boldsymbol{v}=\left[m_{0}\frac{d}{dv}\left(\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)\right]\boldsymbol{v}$

$\boldsymbol{t}_{1}=\left[m_{0}\left(-\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}\right)^{-\frac{1}{2}-1}\right)\frac{d}{dv}\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}\right)\right]\boldsymbol{v}$

$\boldsymbol{t}_{1}=-\left[\frac{m_{0}}{2}\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\left(-2\left(\frac{v}{c}\right)\right)\frac{d}{dv}\left(\frac{v}{c}\right)\right]\boldsymbol{v}=\left[\frac{m_{0}v}{c}\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{c}\right)\right]\boldsymbol{v}$

$\boldsymbol{t}_{1}=\left[\frac{m_{0}v}{c^{2}}\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\right]\boldsymbol{v}$

recordamos entonces que $\boldsymbol{\hat{v}}=\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}$,
por tanto $\boldsymbol{v}=\left[v\right]\boldsymbol{\hat{v}}$, así
que:

$\boldsymbol{t}_{1}=\left[\frac{m_{0}v}{c^{2}}\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\right]\left(\left[v\right]\boldsymbol{\hat{v}}\right)=\left[\frac{m_{0}v^{2}}{c^{2}}\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\right]\boldsymbol{\hat{v}}$

para $\boldsymbol{t}_{2}$ tenemos que:

$\boldsymbol{t}_{2}=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\frac{d}{dv}\left(\left[v\right]\boldsymbol{\hat{v}}\right)=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\left[\frac{d}{dv}\left(v\right)\right]\boldsymbol{\hat{v}}+\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\right)$

$\boldsymbol{t}_{2}=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\boldsymbol{\hat{v}}+\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\right)=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}+\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}\right)\right)$

$\boldsymbol{t}_{2}=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}+\left[v\right]\left(\left[\frac{d}{dv}\left(\left[v^{-1}\right]\right)\right]\boldsymbol{v}+\left[v^{-1}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\right)\right)$

$\boldsymbol{t}_{2}=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}+\left[v\right]\left(\left[-v^{-1-1}\right]\boldsymbol{v}+\left[v^{-1}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\right)\right)$

$\boldsymbol{t}_{2}=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}+\left[v\right]\left(-\left[v^{-2}\right]\boldsymbol{v}+\left[v^{-1}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\right)\right)$

$\boldsymbol{t}_{2}=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}+-\left[vv^{-2}\right]\boldsymbol{v}+\left[vv^{-1}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\right)$

$\boldsymbol{t}_{2}=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}+-\left[v^{-2+1}\right]\boldsymbol{v}+\left[v^{-1+1}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\right)$

$\boldsymbol{t}_{2}=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}-\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{v}+\left[v^{0}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\right)=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)$

y al mismo sitio!, veamos,

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)=-\left[v^{-2}\right]\boldsymbol{v}+\left[v^{-1}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)=\boldsymbol{\hat{v}}+\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)$

ahora

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)=-\left[v^{-2}\right]\boldsymbol{v}+\left[v^{-1}\right]\left(\boldsymbol{\hat{v}}+\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\right)$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)=-\left[v^{-2}\right]\boldsymbol{v}+\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{\hat{v}}+\left[vv^{-1}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)$

$0=-\left[v^{-2}\right]\boldsymbol{v}+\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{\hat{v}}$

$\left[v^{-2}\right]\boldsymbol{v}=\left[v^{-1}\right]\boldsymbol{\hat{v}}$

$\boldsymbol{v}=\left[v^{2}v^{-1}\right]\boldsymbol{\hat{v}}$

$\boldsymbol{v}=\left[v\right]\boldsymbol{\hat{v}}$

aaaaa...pero... y $v=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}$?

$\frac{d}{dv}\left(v\right)=\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}\right)=1$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}\right)=\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}+\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{v}=1$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=1-\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{v}$

ahora a $\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)=\boldsymbol{\hat{v}}+\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)$
lo multiplicamos por $\cdot\boldsymbol{\hat{v}}$ dando

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=\boldsymbol{\hat{v}}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}+\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=1+\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{v}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=1-\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{v}$

$1+\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=1-\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{v}$

$\left[v\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=-\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{v}$

$\left[v\right]\boldsymbol{\hat{v}}=-\boldsymbol{v}$

$\boldsymbol{v}=-\left[v\right]\boldsymbol{\hat{v}}$

me rindo, ya me volví loco!, mejor empieso con una derivada escalar:

$\boldsymbol{P}\equiv\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\boldsymbol{v}$

$\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=\left(\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\boldsymbol{v}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}$

$\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\left(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}\right)$

$\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}\right)=\frac{d}{dv}\left(\left[\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\right)$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}+\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{P}=\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}+\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\left(\left[\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\boldsymbol{v}\right)=\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}+\left(\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)\left(\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{v}\right)=\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}+\frac{1}{v}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)\left(\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\left(\left[v\right]\boldsymbol{\hat{v}}\right)\right)=\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}+\left(\left[\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}+\left(\left[\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)\left(\boldsymbol{\hat{v}}\cdot\boldsymbol{\hat{v}}\right)$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}+\left(\left[\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}=\left(\left[\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)\right]\boldsymbol{\hat{v}}\right)\cdot\boldsymbol{\hat{v}}$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)+\left[\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)=\left[\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)\right]\boldsymbol{\hat{v}}$

$\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{P}\right)=\left[\frac{d}{dv}\left(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right)\right]\boldsymbol{\hat{v}}-\left[\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\right]\frac{d}{dv}\left(\boldsymbol{\hat{v}}\right)$

en este punto ya me dolía la cabeza!

gracias si es que alguien se atreve a corregir toda esta locura!