Demostración

Re: Demostración

Pero ello no demuestra que sea un número natural.

Sí mira, yo te he demostrado que

$\frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}= 2 (2 n +1) \frac{(2 n)!}{n! n!}$

o escrito de otra forma

$A_{n+1} = 2 (2 n +1) A_{n} \hspace{2cm} A_{n} = \frac{(2 n)!}{n! n!}$

Para n=1 sabes que es igual a $A_1=2$ que es natural, entonces según la propiedad de arriba para n=2 también tiene que ser natural ya que $A_2 = 2(2 \cdot 1 + 1) A_1 = 6 A_1$, entonces si $A_2$ es natural también los será $A_3$ ya que $A_3 = 2(2 \cdot 2 +1) A_2 = 10 A_2$ y si repites este proceso tiene que ser válido para todos los naturales, esto es demostrar por inducción

Re: Demostración

Pero ello no demuestra que sea un número natural.

Re: Demostración

¿Pero y si resulta que (2n(2n+1)...(n+1))/(n(n1))...1 es fraccionario?

de eso se trata la inducción supones que válido para n y demuestras que entonces tiene que ser válido para n+1. De tal forma que si es válido para n=1 también lo es para n=2, y si es válido para n=2 también lo es para n=3 etc.

http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci...atem%C3%A1tica

Re: Demostración

¿Pero y si resulta que (2n(2n+1)...(n+1))/(n(n1))...1 es fraccionario?
Le he estado dando vueltas y he pensado que:
((2n)!)/(n!n!)=C(2n,n) Y las combinaciones siempre son números naturales ¿no?.

Re: Demostración

No he hecho muchos de este tipo de problemas en mi vida, pero ¿ y por inducción ?

$\frac{(2 n)!}{n! n!} = \frac{2n (2n-1)....(n+1)}{n (n-1)...1}$

Probamos para $n=1$ y efectivamente $\frac{2}{1} = 2$

Si se cumple que $\frac{(2 n)!}{n! n!}$ es natural, ¿ también lo es $\frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}$ ?

Veamos

$\frac{(2n+2) (2n+1)(2n)(2n-1)....(n+2)}{(n+1) (n)...1} = \frac{(2n+2) (2n+1)}{(n+1)}\frac{2n (2n-1)....(n+1)}{n (n-1)...1} = 2 (2 n +1)\frac{2n (2n-1)....(n+1)}{n (n-1)...1}$

$\frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}= 2 (2 n +1) \frac{(2 n)!}{n! n!}$

y entonces queda probado

Demostrar que el número es natural para todo n natural.
(2n)!/(n!n!)


Evidentemente n! se suprime quedando (2n* (2n-1)*(2n-2)*(2n-3)....(n+1))/(n!)

Pero a partir de ahí no puedo continuar ¿Alguna sugerencia?