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La verdad es que obtener unas coordenadas, en forma parametrica, de curvas, superficies o incluso volúmenes suele ser de gran ayuda muchas veces para trabajar con los modelos matemáticos, la cuestión es que puede ser un problema casi tan complicado, a veces, como el cálculo de primitivas o la resolución de ecuaciones diferenciales. He abierto este hilo para ver si somos capaces de establecer algunas técnicas para obtener dichas ecuaciones en casos mas o menos generales que permitan resolver este tipo de problemas. En principio yo me centraría en variedades algebraicas de , que creo que simplifica algo la casuística, aunque cualquier aporte será bienvenido.
El primer problema que se plantea es con las curvas planas de la forma:
en las que representa un polinomio cualquiera. Cuando es lineal en alguna de las dos variables bastará con despejarla y hacer la otra variable igual al parámetro para obtener la parametrización buscada, pero en la mayoría de los casos eso no es posible y obtener la parametrización puede ser algo más complicado. En el caso de polinómios de 2º grado tenemos un grupo de curvas denominado cónicas. Este tipo de curvas siempre pueden parametrizarse con expresiones racionales de cada una de sus coordenadas, luego explico como hacerlo, pero es una técnica relativamente sencilla que da resultado siempre. En el caso de polinomios de mayor grado se puede hacer solo en algunos casos, pero no es posible hacerlo en todos los casos. Vamos por partes, veamos primer el caso de las curvas unicursales o curvas racionales. Son curvas de dimensión n que pueden representarse en forma parametrica por n funciones racionales dependientes de un único parámetro . En general todas las cónicas son curvas unicursales aunque también existen curvas alabeadas, en que satisfacen esta condición. La forma más general de estas curvas, supuestas inmersas en el espacio , sería:
En las que son funciones racionales (cociente de dos polinomios expresados en función de un único parámetro ). Las cónicas no son más que un caso particular de éstas.
Obtener las ecuaciones paramétricas de una cónica no es difícil, tanto si está inmersa en y su ecuación está dada en forma implícita o está inmersa en y está expresada como intersección de dos superficies.
Cónicas en R²: Su ecuación será de la forma:
en la que será un polinómio de 2º grado.
La forma más sencilla de obtener su parametrización es seguir los siguientes pasos:
1º).- Aplicarle una traslación que haga que la curva pase por el origen (si no pasa) lo que anulará su término independiente.
2º).- Hallar la intersección de la curva con un haz de rectas de la forma lo que nos lleva a una ecuación de 2º grado en y cuyo término independiente será nulo.
3º).- Eliminando la solución trivial queda la otra solución como expresión lineal del parámetro lo que nos permite obtener .
4º).- La otra coordenada del punto de intersección se obtiene fácilmente haciendo .
5º).- Deshacer la traslación realizada al principio.
Os pongo un ejemplo sencillo, resuelto. Sea la curva:
que claramente pasa por el punto (0,1). Para conseguir que pase por el origen la sometemos a una traslación de vector (0,-1) con lo que la curva se transforma en:
y ahora cortamos dicha curva con el haz de rectas , según el protocolo que expuse más arriba. Obtenemos entonces:
Por último deshacemos la traslación que se realizó al comienzo y obtenemos las paramétricas de la curva del ejemplo:
Y otro un poco más complicado, sin resolver:
para que intentéis practicar un poco.
Intersección de Cuadricas en R³: Este caso puede ser algo más complicado, pero también es posible obtener una parametrización racional de dichas curvas. Normalmente este tipo de curvas se obtiene como intersección de dos superficies de la forma:
en las que serán polinomios de 2º grado. Esto no siempre conduce a una cónica, aunque eso tampoco tiene demasiados problemas si somos capaces de obtener una parametrización. Cuando ,es posible eliminar una cualquiera de las tres coordenadas entre las dos ecuaciones el problema se reduce a parametrizar una curva en . En otro caso es necesario recurrir a técnicas algo más sofisticadas. En este caso basta con encontrar o bien un punto de la curva o bien una recta que corte a la curva, si se conoce un punto de la curva se conoce también una recta que la corte. Si se puede, entonces solo hay que cortar la curva con un haz de planos cuyo eje corte a la curva y repetir el proceso anterior. Os pongo un ejemplo complicadillo en lugar de repetir otra vez el procedimiento anterior. Veamos el caso de la intersección de dos superficies esféricas. Sabemos que si se cortan lo hacen en una circunferencia, sean las dos superficies:
Parametrizar esta curva no parece en principio una tarea fácil ya que aunque sabemos que dicha curva es una circunferencia no es fácil encontrar uno cualquiera de sus puntos. Si alguien conoce algún otro método, más o menos general y quiere aportarlo, seguro que otros lo agradecerán.
Restando las ecuaciones de ambas superficies obtenemos la ecuación de un plano que debe contener a la curva buscada:
y ese sencillo detalle es el que nos permite obtener la parametrización, ya que al saber que la curva es una circunferencia podemos obtener su centro como intersección de la linea que une los centros de las esferas y este último plano, pero solo gracias a ese detalle, en otro caso sería complicado obtener una parametrización. Conociendo su centro y el plano que la contiene el resto es sencillo.
Salu2, Jabato.
El primer problema que se plantea es con las curvas planas de la forma:
en las que representa un polinomio cualquiera. Cuando es lineal en alguna de las dos variables bastará con despejarla y hacer la otra variable igual al parámetro para obtener la parametrización buscada, pero en la mayoría de los casos eso no es posible y obtener la parametrización puede ser algo más complicado. En el caso de polinómios de 2º grado tenemos un grupo de curvas denominado cónicas. Este tipo de curvas siempre pueden parametrizarse con expresiones racionales de cada una de sus coordenadas, luego explico como hacerlo, pero es una técnica relativamente sencilla que da resultado siempre. En el caso de polinomios de mayor grado se puede hacer solo en algunos casos, pero no es posible hacerlo en todos los casos. Vamos por partes, veamos primer el caso de las curvas unicursales o curvas racionales. Son curvas de dimensión n que pueden representarse en forma parametrica por n funciones racionales dependientes de un único parámetro . En general todas las cónicas son curvas unicursales aunque también existen curvas alabeadas, en que satisfacen esta condición. La forma más general de estas curvas, supuestas inmersas en el espacio , sería:
En las que son funciones racionales (cociente de dos polinomios expresados en función de un único parámetro ). Las cónicas no son más que un caso particular de éstas.
Obtener las ecuaciones paramétricas de una cónica no es difícil, tanto si está inmersa en y su ecuación está dada en forma implícita o está inmersa en y está expresada como intersección de dos superficies.
Cónicas en R²: Su ecuación será de la forma:
en la que será un polinómio de 2º grado.
La forma más sencilla de obtener su parametrización es seguir los siguientes pasos:
1º).- Aplicarle una traslación que haga que la curva pase por el origen (si no pasa) lo que anulará su término independiente.
2º).- Hallar la intersección de la curva con un haz de rectas de la forma lo que nos lleva a una ecuación de 2º grado en y cuyo término independiente será nulo.
3º).- Eliminando la solución trivial queda la otra solución como expresión lineal del parámetro lo que nos permite obtener .
4º).- La otra coordenada del punto de intersección se obtiene fácilmente haciendo .
5º).- Deshacer la traslación realizada al principio.
Os pongo un ejemplo sencillo, resuelto. Sea la curva:
que claramente pasa por el punto (0,1). Para conseguir que pase por el origen la sometemos a una traslación de vector (0,-1) con lo que la curva se transforma en:
y ahora cortamos dicha curva con el haz de rectas , según el protocolo que expuse más arriba. Obtenemos entonces:
Por último deshacemos la traslación que se realizó al comienzo y obtenemos las paramétricas de la curva del ejemplo:
Y otro un poco más complicado, sin resolver:
Intersección de Cuadricas en R³: Este caso puede ser algo más complicado, pero también es posible obtener una parametrización racional de dichas curvas. Normalmente este tipo de curvas se obtiene como intersección de dos superficies de la forma:
en las que serán polinomios de 2º grado. Esto no siempre conduce a una cónica, aunque eso tampoco tiene demasiados problemas si somos capaces de obtener una parametrización. Cuando ,es posible eliminar una cualquiera de las tres coordenadas entre las dos ecuaciones el problema se reduce a parametrizar una curva en . En otro caso es necesario recurrir a técnicas algo más sofisticadas. En este caso basta con encontrar o bien un punto de la curva o bien una recta que corte a la curva, si se conoce un punto de la curva se conoce también una recta que la corte. Si se puede, entonces solo hay que cortar la curva con un haz de planos cuyo eje corte a la curva y repetir el proceso anterior. Os pongo un ejemplo complicadillo en lugar de repetir otra vez el procedimiento anterior. Veamos el caso de la intersección de dos superficies esféricas. Sabemos que si se cortan lo hacen en una circunferencia, sean las dos superficies:
Parametrizar esta curva no parece en principio una tarea fácil ya que aunque sabemos que dicha curva es una circunferencia no es fácil encontrar uno cualquiera de sus puntos. Si alguien conoce algún otro método, más o menos general y quiere aportarlo, seguro que otros lo agradecerán.
Restando las ecuaciones de ambas superficies obtenemos la ecuación de un plano que debe contener a la curva buscada:
y ese sencillo detalle es el que nos permite obtener la parametrización, ya que al saber que la curva es una circunferencia podemos obtener su centro como intersección de la linea que une los centros de las esferas y este último plano, pero solo gracias a ese detalle, en otro caso sería complicado obtener una parametrización. Conociendo su centro y el plano que la contiene el resto es sencillo.
Salu2, Jabato.