Olimpiada Problema de bolas

[Visitante]

Buenas noches,

Os traigo otro problema que me da problemas :P. Dice así:

Sea $n \geqslant 2$ un entero positivo. Tenemos $2n$ bolas, en cada una de las cuales hay escrito un entero. Se cumple que, siempre que formamos n parejas con las bolas, dos de estas parejas tienen la misma suma.
(1) Demuestra que hay cuatro bolas con el mismo número.
(2) Demuestra que el número de valores distintos que hay en las bolas es como mucho n-1.

La solución empieza tanteando con varios casos simples y luego hace el siguiente razonamiento general:
Si suponemos que las bolas están numeradas en orden estrictamente creciente (para simplificar elegimos los números naturales)

$1,2,3,...,n-1,n,n+1n,...,2n-1,2n$

Con esta numeración al emparejas las bolas consecutivas nunca se darán dos sumas iguales

$1+2<3+4, 4+5z6+7<,...<n-1+n<n+n+1...$

Supongamos están las bolas numeradas en orden creciente (no estrictamente)

${a}_{ 1} \leqslant {a}_{2 } \leqslant ... \leqslant {a}_{n } \leqslant {a}_{ n+1} \leqslant ... \leqslant {a}_{2n-1 } \leqslant {a}_{ 2n}$

Para que se dé la igualdad ${a}_{i }+{a}_{i+1 }={a}_{i +2}+{a}_{i+3 }$ $1 \leqslant i \leqslant n-3$ deben tener las cuatro bolas el mismo número. Queda demostrado (1)
Para demostrar (2) supongamos que en lugar de n-1 valores distintos como mucho, hay n.
Ordenemos las n bolas distintas en orden creciente estrictamente y las restantes como sigue
${a}_{1}<{a}_{2 }<{a}_{3 } ... {a}_{n-1}<{a}_{n}$
${b}_{1 } \leqslant {b}_{2 } \leqslant {b}_{3} ... {b}_{n-1 } \leqslant {b}_{n }$
Entonces las sumas de bolas con el mismo subíndice (${a}_{i }+{b}_{i }$, $1 \leqslant i \leqslant n,$ serían siempre distintas y ya no se daría la condición del enunciado. Por lo tanto, a lo sumo, hay n-1 valores distintos.

Para demostrar el caso (1) supone que las bolas se cogen de manera consecutiva, pero ¿No podría ocurrir que se cogiesen cuatro bolas de manera no consecutiva y la suma de cada pareja sea la misma sin que sean las cuatro del mismo color?
Y el último paso que hace no lo entiendo muy bien, me trabo en la parte final de la demostración...