1r ciclo Sucesión y subsucesiones convergentes en un punto

[Alofre]

Buenas, agradecería a quien me resolviese una duda que me ha surgido en una demostración de un teorema en relación a sucesiones y limites. El teorema es el que sigue:
Una sucesión ${x_n}\rightarrow p$ si solo si cada una de sus subsucesiones converge a p ${x_[k(n)]}\rightarrow p$
En los apuntes lo demuestran así: (en el sentido de izquierda a derecha):
Para cada $\forall\epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N }|d\left(x_{n}, p\right)<\epsilon, \forall N \geq n$ Perfecto, la definición de sucesión convergente.
Ahora bien, después afirma lo siguiente: Como ${x_{k(n)}}$ es una subsucesión ${x_n}$ entonces
$\exists M\in\mathbb{N }|k(n)>N , \forall n \geq M$ por lo que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] lo cual prueba que las subsucesiones convergen a p.
Bien, la verdad es que esta última parte no la entiendo en absoluto, concretamente el hecho de afirmar la existencia del tal entero M.
Agradecería mucho si alguien me lo pudiese explicar.