Otras carreras Determinar el dominio e intervalos donde la función es continua

[crishchess]

Hola tuve un examen y me gustaría poder revisar una pregunta que creo que resolví mal, la cual planteo a continuación

Determine el dominio de definición de la función compuesta $f \circ g(x) = f(g(x))$. Luego determine los intervalos donde la función compuesta es continua. Escoge uno de los puntos terminales (se denota como $a$ en continuación) de estos intervalos de continuidad y calcule UNO de los límites unilaterales $\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}a}{f(g(x))}$

$f(x)= \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}-3}{x-3}$ ; $g(x)=3x+1$


- Calculando la función inversa

$f\circ{g(x)}=f(g(x))=f(3x+1) = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x+1-3} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x-2}$

- Calculando su dominio

Se debe cumplir que el denominador sea distinto de

$3x-2 \neq 0$
$3x = 2$
$x \neq \displaystyle\frac{2}{3}$

Además debe cumplir que el radicando de la raíz del numerador sea mayor o igual que cero

$3x+1 \geq{} 0$
$3x \geq{} -1$
$x \geq{} \displaystyle\frac{-1}{3}$

Entonces el dominio es la intersección de ambas condiciones

$Dom \; f\circ{g(x)} = [-\displaystyle\frac{1}{3} +\infty[ - \{ \displaystyle\frac{2}{3} \}$

- Continuidad de la función

Para ver la continuidad hay que calcular las asíntotas verticales. Del dominio se observa que hay una asíntota vertical en $x=\displaystyle\frac{2}{3}$

Entonces la función es continua en $[-\displaystyle\frac{1}{3} \; \displaystyle\frac{2}{3}[ \cup{} ]\displaystyle\frac{2}{3} \; +\infty[$

- Límite

Calculando el límite

$\displaystyle\lim_{x \to{}2/3+}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x-2}} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3} -3}{0} = - \infty$

Muchas gracias.

Saludos