Duda básica.

[Richard R Richard]

¿ Cuando n tiende a infinito cada ecuación no tiende a un valor diferente ?

No, todas tienden al mismo valor, el 2, que es el valor limite de la sucesión sin alcanzarlo nunca. si lo alcanzase solo la 3 verificaria la igualdad como lo intente demostrar en el post #5

Suponiendo ser 3 valores diferentes puede no haber manera de "construir" alguno de ellos, solo podemos aceptar axiomaticamente que las 3 ecuaciones tienden a 2 cuando n tiende a infinito, ¿no?

No se bien que quieres decir con axiomaticamente, pero esas 3 y otras infinitas mas sucesiones que se nos ocurran podrán tener como limite 2, cada una estará tanto mas próxima a 2 cuanto mayor sea el número de sumandos.

Fijate que cada vez que incrementas n en una unidad lo que estas haciendo es que al polinomio anterior le sumas y le restas algo.

$P(n-1)=x^{n-1}-\sum\limits_{i=1}^{n-2} x^i$

$P(n)=x^{n}-\sum\limits_{i=1}^{n-1} x^i$

en definitiva

$P(n)=P(n-1)+x^n-2x^{n-1}$

$P(n)=P(n-1)+(x-2)x^{n-1}$

en el caso de la ecuación 3 allí ves que si $x=0$ no se modifica la igualdad lo mismo que si $x=2$ , pues $(x-2)x^{n-1}= 0$

pero para el caso de la ecuación 1 o 2

si $x=0$ o $x=2$ , la ecuación no verifica nunca la igualdad, ya al inicio con $n=1$, luego por mas que le agregues infinitos pasos intermedios la igualdad seguirá sin verificar con esos 2 valores, pero si podrá hacerlo para algún valor cercano a 2 por que $(x-2)x^{n-1}\neq 0$ en cada paso, y en cada uno de ellos aproxima mas al polinomio a la igualdad impuesta.

si la sucesión converge entonces ($x-2)x^{n-1}>;(x-2)x^{n}\quad\to\quad x<2$

¿ Entonces según la definición dada todas las siguientes sucesiones tienen por valor límite 1/3 ?


$a_1 = 0.1, \quad a_2= 0.31, \quad a_3= 0.331 \dots$

$b_1 = 0.2, \quad b_2= 0.32, \quad b_3= 0.332 \dots$

$c_1 = 0.3, \quad c_2= 0.33, \quad c_3= 0.333 \dots$

$d_1 = 0.4, \quad d_2= 0.34, \quad d_3= 0.334 \dots$

Todas tienden a 1/3


fijate que la puedes convertir a una sucesión el primer valor es $a_0=a/10$

luego cada termino es $a_n=a_{n-1}/10+0.3$

cuando haces el límite en infinitos términos a_n tiende a 1/3 , y la contribución del primer termino $a_0$ pasa a ser $\dfrac{a}{10^{n+1}}\to 0$

la diferencia en el ultimo termino de cada serie se va aproximando a cero y todo el resto de la serie se aproxima a 1/3....en definitiva la sucesión, tiende a 1/3

En el ejemplo de las ecuaciones,


$....x^4-x^3-x^2-x=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-1=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-2=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-3=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-4=0$

.
.
¿ el valor límite de x en todas ellas es 2 ?

si correcto, pero solo la tercera no importa el número de términos el resultado es x=2 , sin converger nunca

[javisot20]

El primer link al parecer todavía está vacío pero dentro del segundo link puede llegarse a la definición de sucesión, gracias carroza.

[javisot20]

Muy interesante, necesito tiempo para entender todos los matices de tu mensaje carroza, pero has entendido lo que quería argumentar, incluso lo has simplificado, gracias.



¿ Entonces según la definición dada todas las siguientes sucesiones tienen por valor límite 1/3 ?


$a_1 = 0.1, \quad a_2= 0.31, \quad a_3= 0.331 \dots$

$b_1 = 0.2, \quad b_2= 0.32, \quad b_3= 0.332 \dots$

$c_1 = 0.3, \quad c_2= 0.33, \quad c_3= 0.333 \dots$

$d_1 = 0.4, \quad d_2= 0.34, \quad d_3= 0.334 \dots$

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En el ejemplo de las ecuaciones,



$....x^4-x^3-x^2-x=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-1=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-2=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-3=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-4=0$

.
.
.
.

¿ el valor límite de x en todas ellas es 2 ?

[carroza]

Hola.

Creo que ya entiendo el argumento de Javisot. Voy a intentar reconstruirlo, a efectos pedagógicos. Mis disculpas a priori si no reproduzco con fidelidad los argumentos de Javisot. Solo es para aclarar ciertas ideas.

Consideremos las secuencias de números siguientes:

$a_1 = 0.3, \quad a_2= 0.33, \quad a_3= 0.333 \dots$

$b_1 = 0.4, \quad b_2= 0.34, \quad b_3= 0.334 \dots$

Está claro de estas expresiones que, para cualquier n finito, $b_n > a_n$. También parece claro que hay una característica cualitativa de la secuencia $a_n$ (todas sus cifras son 3), que es diferente de la secuencia $b_n$ (tiene un cuatro entre sus cifras). Por tanto, podríamos concluir que si extraemos una propiedad de la secuencia $a_n$, que llamamos, informalmente, su "limite", esa propiedad debe ser diferente del "limite" de la secuencia $b_n$. Aquí pongo "limite" entre comillas para diferenciarlo del concepto matemático de límite al que me referiré ahora.

Primero, definamos con precisión una sucesión: https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi...atem%C3%A1tica). A diferencia de una secuencia de números, que puede ser finita o infinita, una sucesión siempre es infinita. Para una sucesión, puede definirse un limite https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%A..._sucesi%C3%B3n . Para la definición de este límite, no se usan propiedades como si los números de la sucesión tienen unas cifras u otras. Existe un límite $\ell(a)$ de la sucesión si, fijando un número real arbitrariamente pequeño $d>0$, existe un valor n(d) tal que, para todos los valores $n \ge n(d)$, se cumple que $|a_n-\ell(a)| < d$.

Con esta definición, los límites de las sucesiones $a_n$ y $b_n$ son ambos el número real ( y también racional) que expresamos como $1/3$. Por tanto $\ell(a) = \ell(b) = 1/3$ , Por ejemplo, si fijamos $d = 0.001$, entonces, para ambas sucesiones, $n(d)=3$, ya que, para todos los $n\ge 3$, $|a_n-1/3| < 0.001$, y $|b_n-1/3| < 0.001$. Si fijamos $d = 10^{-10}$, para ambas sucesiones $n(d)=10$. Fijaros que el concepto matemático de límite no es aplicable a una secuencia de números finita. Sólo es aplicable a una sucesión, que por definiciión debe ser infinita.

Por tanto, el concepto informal de "limite" descrito anteriormente, que, en principio, sería aplicable a una secuencia finita de números, no coincide con el concepto matemático de límite.

Un comentario adicional. Como estamos en un foro de físicos, hay que mencionar que, en física, el concepto operativo de límite es más laxo. Habitualmente en fisica, nuestras cantidades $a, b$ tienen una cierta incertidumbre. Los valores $a_n, b_n$ que se aproximan a esas cantidades, tanto desde el punto de vista teórico como experimental, pueden entenderse considerando que, conforme $n$ aumenta, tenemos cálculos más precisos (por ejemplo, diagramas de Feynmann con más vertices), o medidas con más datos. En física diríamos que los valores $a, b$ son iguales, si las diferencias entre $a_n, b_n$ están dentro del rango de incertidumbre. Esto corresponde a la definición matemática, pero teniendo en cuenta que nunca podremos hacer $n \to \infty$ ni haremos $d \to 0$,

saludos

[javisot20]

Entiendo y comparto que si n es finito entonces cada ecuación tiende a x diferentes, pero reconozco que me cuesta entender el siguiente paso ( y quiero entenderlo para mejorar mis matemáticas )

¿ Cuando n tiende a infinito cada ecuación no tiende a un valor diferente ?


Suponiendo ser 3 valores diferentes puede no haber manera de "construir" alguno de ellos, solo podemos aceptar axiomaticamente que las 3 ecuaciones tienden a 2 cuando n tiende a infinito, ¿no?

Mí poca matemática avanzada me dice que ese tipo de números es un recurso para demostraciones más que un tipo nuevo de números con características y propiedades especiales.

Casualidad es que hace tiempo comencé a pensar sobre dichos números H (del inglés Hidden numbers) pensando en la generación de demostraciones y temas al respecto que estaba indagando, me has calado jej. Dichos números no pueden ser números deacuerdo a definiciones axiomáticas, más bién constructos totalmente artificiales.


Por ejemplo $0.\overline 3$ puedo reescribirlo como 1/3, ¿ pero como reescribir un "número" tipo $0.\overline 3.4$ ?


( pongo un punto entre 3 periódico y 4 porque ni el latex me deja escribirlo como quiero... )

[Richard R Richard]

La duda era,

¿ (1)=(2)=(3) o (1)<(2)<(3) ?

Sigo entendiendo que para todos los que hemos contestado, sostenemos que mientras n es finito entonces sucede que [usando tu notación] (1)<(2)<(3)
Pero en el límite cuando n tiende a infinito sucede (1)=(2)=(3),
el tema es que entre el n finito más grande que puedas escribir e infinito sigue habiendo infinitos términos de la sucesión para seguir adicionando.



Entre el cero y el primer número real, entiendo que no puede haber ningún número intermedio, si lo hubiera pasarían dos cosas,
Una es que el primer real que habías mencionado pasa a ser un simple número racional,
Y la segunda es que entre este epsilon y el cero pueden existir infinitos números racionales y reales intermedios.

Mí poca matemática avanzada me dice que ese tipo de números es un recurso para demostraciones más que un tipo nuevo de números con características y propiedades especiales.

[carroza]

Hola.

Creo entender que Richard y yo estamos de acuerdo en que, si los puntos suspensivos que pones se refieren a calcular el límite de las soluciones de las tres ecuaciones, obtenidas para un n dado, cuando n tiende a infinito, entonces los tres limites son iguales entre sí, e iguales a 2. Si quieres preguntar algo más concreto, deberías usar notaciones habituales, como límite de algo cuando n tiende a infinito.

Tu pregunta secundaria resulta más facil si haces logaritmos en la ecuación $1^H \ne 1$. Te queda $0 \times H \ne 0$.

Saludos

[javisot20]

Saludos, al solo participar Richard, Alriga y Carroza cada uno con argumentos y puntos de vista opuestos no tengo muy claro cual es la opción correcta,

por recordar,

$....x^4-x^3-x^2-x=0$ (1)

$......x^4-x^3-x^2-x-1=0$ (2)

$......x^4-x^3-x^2-x-2=0$ (3)



La duda era,

¿ (1)=(2)=(3) o (1)<(2)<(3) ?







Una pregunta secundaria un poco extraña, al no tener claro lo anterior no tengo claro donde está el límite para crear números....

¿ pueden existir números llamémosles H tal que 1^H≠1 ?

[Richard R Richard]

Hola quería estar seguro al contestar, podemos tener infinitas sucesiones convergentes diferentes con distintas funciones creadoras cuyo limite sea un valor predeterminado, en nuestro caso el 2, pero el valor del limite en el infinito de la función creadora no pertenezca a la sucesión.

[javisot20]

https://youtu.be/aRUABAUcTiI

https://youtu.be/fHHM2dd-DL0

https://youtu.be/mPn2AdMH7UQ


infinito+1 es una operación que tiene sentido en los surreales y es diferente a infinito+3/2.

[carroza]

Hola.

Consideremos un problema más sencillo.

Tengamos las series: $a_n = 2 - {1 \over n+1}$ y $b_n = 2 - {1 \over n+3/2}$ .

Podeis decirme los limites de $a_n, b_n$, cuando $n \to \infty$?

Saludos

[Richard R Richard]

Hola carroza, yo lo veo de otro modo,

sea $X(K_1)$ una sucesión de valores x que son solución a la ecuación

$(x^n-1) - {(x^n - 1) \over x -1}+K_1=0 \forall n\in [1,\infty)$

y $X(K_2)$ una sucesión de valores x que son solución a la ecuación

$(x^n-1) - {(x^n - 1) \over x -1}+K_2=0 \forall n\in [1,\infty)$

vemos claramente que las dos sucesiones son distintas termnino a termino pero tienen el supremo en común 2,

Para mi nunca serán iguales dos términos de la sucesión para el mismo n, hasta el infinito, y podemos decir que para ninguna de las dos el $2$ o $1.\overline 9$ sea un elemento de esa sucesión.

[javisot20]

¿ No es correcto decir que la ecuación (3) tiende a 2, la ecuación (2) tiende a 1,9 periódico y la (1) a x simplemente ?,

decir que las tres tienden a 2 es una simplificación, ¿no?, cada una tiende a un número sino las ecuaciones deberian ser iguales y yo las he propuesto con determinadas diferencias que saltan a la vista.



(Poco después de poner la duda investigué sobre los números surrealistas, los cuales aún pudiendo contruirse acorde a las leyes de la aritmética, no pueden construirse en un número finito de pasos.)

[carroza]

A ver, Richard, La definición del límite, https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%A..._sucesi%C3%B3n , es un valor al que todos los elementos de la sucesión, a partir de un n determinado, se aproximan con una diferencia arbitrariamente pequeña.

Con ese concepto, si definimos la serie de valores $x_n(K)$ como los valores de x que son solucion de la ecuación $f_n(x) + K = 0$, entonces todas las series $x_n(K)$ tienen como limite x=2. No me importa que $f_\infty(x)$ sea indeterminado. De hecho, no debo hablar de tal cosa como $f_\infty(x)$. Solo debo hablar de $x_n(K)$ , y comprobar que es una serie cuyo limite es 2.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola.

Las tres ecuaciones de Javisot pueden ponerse, para un n dado, como

$(a) f_n(x) + 2 = 0$
$(b) f_n(x) + 1 = 0$
$(c) f_n(x) + 0 = 0$

donde $f_n(x) = (x^n-1) - {(x^n - 1) \over x -1}$

Es obvio que x=2 es una solucion de (c), para cualquier n. Tambien parece obvio que, para un n determinado, las ecuaciones (a) y (b) tienen soluciiones distintas de x=2.

hay que darse cuenta que la función $f_n(x)$ tiene una derivada, en x=2, que se hace mayor conforme n se hace más grande. Por tanto, las soluciones de (a) y (b), se hacen más cercanas a 2, conforme n se hace más grande. En el limite de n infinito, las soluciones de (a) y (b) tienden a 2.

Con respecto al desarrollo de Richard, del #5, hat que tener cuidado que los limites $n \to \infty$ y $x \to 2$ no pueden intercambiarse. Primero hay que encontrar las soluciones de (a), (b), (c), para un $n$ finito, y luego comprobar que $x$ tiende a 2 conforme n se hace más grande. Hay que tener en cuenta que la función $f_n(x)$, no es derivable en x=2 cuando n tiende a infinito.

Saludos

Totalmente claro y de acuerdo, con ir probando n =20 ya tenemos 1.99999.... las primeras 5 cifras significativas en 9 para x, así que es claro que tenderá a dos y muy rápidamente ,como dices para n finito, ese limite no es 2 ni será 1.9 periódico, parece que al incrementar n tenderá a 2, pero decir que será estrictamente 2 en a y b cuando n tienda a infinito nos lleva a una contradicción, o mas bien a una indeterminación pues $(c) f_n(x) + K = 0$ tendrá su cero de función en $x=2$ para todo K es decir , $f_n(x)=-K$ cualquiera sea K lo cual no es lógico. aquí usamos $K \in \mathbb N$, por lo que un polinomio de grado infinito podría tener infinitas raíces, pero podríamos hacer que $K \in \mathbb R$ y toda la recta de los reales debería tener un cero de la función en x=2 lo cual es contradictorio , pues hay un tipo de indeterminación $\infty-\infty$ que arroja cualquier resultado como posible.

$f_\infty(x) = (x^\infty-1) - {(x^\infty - 1) \over x -1}=\infty-\infty=indeterminado$