Secundaria Límite 1^∞

[The Higgs Particle]

Hola, me gustaría saber si es válida esta demostración de que un límite del tipo

$\dst \lim_{x \to x_0} {\left[ f(x)\right]}^{g(x)} = 1^\infty$

Puede resolverse mediante la siguiente fórmula:

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* * *

Supongamos que:

$\dst \lim_{x \to x_0} {\left[ f(x)\right]}^{g(x)} = X$

Siendo

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entonces:

$\dst \lim_{x \to x_0} {\left[ f(x)\right]}^{g(x)} = X = L^M$

Tomando logaritmos:

$\ln(X) = \ln\left( L^M\right) \to X = {e}^{\dst M \ln(L) }$ (1)

Podemos ver que

$L = \lim_{x \to x_0} f(x) = 1$, de forma que $\ln (\lim_{x \to x_0} f(x) ) = \lim_{x \to x_0} \ln(f(x)) = \ln(1) = 0$

De esta forma, hemos comprobado que $\ln(L)$ es un infinitésimo. Así:

$\lim_{x \to x_0} \ln(f(x)) = \lim_{x \to x_0} \ln(1 + \left[ f(x) - 1 \right]) \approx f(x) - 1$

Sustituyendo este valor en (1), tenemos:

$X = {e}^{\dst \lim_{x \to x_0} g(x) \cdot \left[ f(x) -1\right] }$

Por propiedades de los límites:

$\lambda \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0}\left( \lambda f(x)\right)$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$

De forma que podemos concluir, sabiendo que, en este caso, $f(x) - 1 = \lambda$:

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