Otras carreras Límite de dos variables

[danielandresbru]

Esta pregunta viene de una duda que había dejado anteriormente https://forum.lawebdefisica.com/threads/42388-Demostraci%C3%B3n-Transformada-de-Fourier (En que quería ver la deducción de la transformada de fourier, e indagando un poco más en ella llegue a una nueva cuestión que es resolver un límite, que a simple vista no parece muy complicado (pero si quisiera resolverlo con presición).

Continuando con lo anterior, partiendo de la serie $f(t)= \displaystyle \lim_{ n \to \infty} \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n} \Bigg( \int_{-\frac {\pi}{\Delta \omega}}^{\frac {\pi}{\Delta \omega}} f( \xi) \cdot e^{-i \omega_k \xi} \hspace{1mm } \dd \xi \Bigg) \cdot e^{i \omega_k t} \cdot \Delta \omega$, y llamando
$g(\omega_k)=\displaystyle \Bigg( \int_{-T/2}^{T/2} f( \xi) \cdot e^{i \frac{2 \pi}{T} k(t- \xi)} \hspace{1mm } \dd \xi \Bigg)$ para tener

$f(t)= \displaystyle \lim_{ n \to \infty} \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n} g(\omega_k) \cdot \Delta \omega$ $= \displaystyle \lim_{\Delta \omega \to 0} \lim_{ n \to \infty} \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n} g(\omega_k) \cdot \Delta \omega$.

Si hago $= \displaystyle \lim_{\Delta \omega \to 0} \lim_{ n \to \infty} \sum_{k=-n}^{n} \Delta \omega$. me debería dar la logitud del intervalo (es decir infinito), pero esta suma da:

$= \displaystyle \lim_{\Delta \omega \to 0} \hspace{1mm} \lim_{ n \to \infty} 2n \Delta \omega$.

Mi duda está entonces en como demostrar que dicho límite es infinito. Disculpadme si por dar tantas vueltas para formular mi pregunta, pero quería saber si hay algo incorrecto en lo que planteo. Muchas gracias de antemano