1r ciclo Unicidad de solución

[gunbladecat]

Buenos dias,

tengo un problemilla con un ejercicio de ec. diferenciales. quizás sea una tonteria pero no lo veo. A ver si pueden orientarme... El problema és el siguiente:

Demuestra que la eq diferencial siguiente tiene una única solución
$\left\{<br /> \begin{matrix} <br /> \dot{x} &=& f(t,x) \\<br /> x(0) &=& 0<br /> \end{matrix} <br /> \right.$
donde $f:[0,1] \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ está definida como sigue
$f(t,x)=\left\{<br /> \begin{matrix} <br /> 2t &si& \phantom{a} x\le 0 \\<br /> \frac{2t^2-4x}{t} &si& \phantom{a} 0<x<t^2 \\<br /> -2t &si& \phantom{a} x \ge t^2<br /> \end{matrix} <br /> \right.$

he visto ya que es continua pero tendria que ver que es Lipschitz respecto a la 2ª variable pero por ejemplo entre dos puntos $x_1$ i $x_2$ tales que $0<x_1,x_2<t^2$ tenemos que

$|f(t,x_1)-f(t,x_2)|=|\frac{2t^2-4x_1}{t}-\frac{2t^2-4x_2}{t}|\le|\frac{-4}{t}||x_1-x_2|$

y como ven me depende de t y no sé como acotarlo pues para t tendiendo a 0 se me dispara... en los demás casos salen cosas parecidas también.

Muchas gracias.