Otras carreras ¿Para que valor tiene un centro en el origen?

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio



Lo que he hecho


$x''+x+ax^2+bxx' =0 \Longrightarrow{x'' = -x-ax^2-bxx'}$


Lo podemos escribir como un sistema


$x'=y$
$y'=-x-ax^2-bxy$


- Tenemos que los puntos críticos son $(0,0)$ y $(-1/a , 0)$


- Calculando la matriz M formada por las parciales


$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1-2ax-by & -bx \end{pmatrix}$


- Veamos si (0,0) es un centro del sistema lineal


$M l_{0,0} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \Longrightarrow{\begin{pmatrix} - \lambda & 1 \\ -1 & - \lambda \end{pmatrix} }$


$(\lambda)^2 +1 = 0 \Longrightarrow{\lambda=\pm{i}}$ Es un centro del sistema lineal


- Para que sea un centro de un sistema no lineal debe cumplirse que


$fx +gy =0$ Es decir la parcial con respecto a x de $x'$ sumada con la parcial con respecto a y de $y'$ deben dar como resultado 0.


$fx +gy =0$
$0 - bx =0$
$b=0$


Es decir para $b=0$ y para cualquier valor de $a$ será un centro ¿Es correcto?


Para el otro apartado Si $a = b = -1$ Dibujar retrato de fase. Tengo muchas dudas con el retrato de fase no se como seria.




De antemano gracias