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Buenas tengo que hacer el siguiente ejercicio pero no se exactamente como usar los diagrama de arbol para poder resolver los problemas =(
Observamos un torneo de 2^n jugadores formado por n rondas, donde en cada una cada 2 jugadores juegan uno contra otro y solo el ganador pasa a la siguiente ronda. Al comienzo de cada ronda se definen los emparejamientos aleatorios, cada uno con la misma probabilidad.
A cada jugador se le asigna un número correspondiente a su posición en un ranking, es decir, sea [2^n] el conjunto de participantes, el jugador i es peor que el jugador j si i>j (1er puesto, 2do puesto,…)
Los encuentros de una ronda se juegan en el siguiente orden: de todos los encuentros que quedan por jugarse el encuentro siguiente sera el que cuente con los 2 peores jugadores. En cada uno de los encuentros de 2 jugadores gana el mejor de ambos siempre con una probabilidad de
p∊(0,1)- independientemente de todos los otros encuentros del torneo
(a) Se cumple que n=2
Dibuje un diagrama de árbol del experimento arriba expuesto
Calcule las probabilidades dependientes de p de que:
i) el jugador 1 gane
ii) el jugador 2 juege en la ultima ronda con el jugador 2
iii) el jugador 1 juega en algún momento con el jugador 2
(b) Sea n cualquier numero
i)Cuantos sucesos aleatorios k∊ Ω (ramas) habría?
ii)Calcule las probabilidades para los sucesos E ⊆ Ω de (a) para una n cualquiera
- - - Actualizado - - -
Buenas esto es lo que he pensado para el ai)
Al ser n=2 entonces hay 2^2=4 jugadores. Por lo tanto tengo
que pensar en todas las posibles combinaciones entre los jugadores A=1,B=2,C=3 y D=4
pero teniendo en cuenta que la ronda (A,B) y (C,D) es la misma que (B,A) y (C,D) o que (C,D) y (A,B). Así que llegue a la conclusión de que sólo hay tres posibles encuentros:
(A,B) y (C,D)
(A,C) y (B,D)
(A,D) y (B,C)
Sin embargo en el enunciado pone
"Los encuentros de una ronda se juegan en el siguiente orden: de todos los
encuentros que quedan por jugarse el encuentro siguiente sera el que cuente con
los 2 peores jugadores."
¿Quiere decir esto que entonces para n=2 el único caso posible es ((A,B) y (C,D)) pues los dos peores son C y D ya que sus correspondientes numeros de ranking son 3 y 4 respectivamente? Si fuera así alguien me puede decir como sería el árbol? Así:
Por lo tanto habrían dos casos posibles para que A, es decir el juagador 1 gane:
Que A gane a B y que C gane a D. Luego A gana a C
Que A gane a B y que D gane a C. Luego A gana a D
Mi problema es que no se como calcular las probabilidades de estos hechos.
Alguien me puede ayudar? Hay que utilizar probabilidad condicionada?
Observamos un torneo de 2^n jugadores formado por n rondas, donde en cada una cada 2 jugadores juegan uno contra otro y solo el ganador pasa a la siguiente ronda. Al comienzo de cada ronda se definen los emparejamientos aleatorios, cada uno con la misma probabilidad.
A cada jugador se le asigna un número correspondiente a su posición en un ranking, es decir, sea [2^n] el conjunto de participantes, el jugador i es peor que el jugador j si i>j (1er puesto, 2do puesto,…)
Los encuentros de una ronda se juegan en el siguiente orden: de todos los encuentros que quedan por jugarse el encuentro siguiente sera el que cuente con los 2 peores jugadores. En cada uno de los encuentros de 2 jugadores gana el mejor de ambos siempre con una probabilidad de
p∊(0,1)- independientemente de todos los otros encuentros del torneo
(a) Se cumple que n=2
Dibuje un diagrama de árbol del experimento arriba expuesto
Calcule las probabilidades dependientes de p de que:
i) el jugador 1 gane
ii) el jugador 2 juege en la ultima ronda con el jugador 2
iii) el jugador 1 juega en algún momento con el jugador 2
(b) Sea n cualquier numero
i)Cuantos sucesos aleatorios k∊ Ω (ramas) habría?
ii)Calcule las probabilidades para los sucesos E ⊆ Ω de (a) para una n cualquiera
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Buenas esto es lo que he pensado para el ai)
Al ser n=2 entonces hay 2^2=4 jugadores. Por lo tanto tengo
que pensar en todas las posibles combinaciones entre los jugadores A=1,B=2,C=3 y D=4
pero teniendo en cuenta que la ronda (A,B) y (C,D) es la misma que (B,A) y (C,D) o que (C,D) y (A,B). Así que llegue a la conclusión de que sólo hay tres posibles encuentros:
(A,B) y (C,D)
(A,C) y (B,D)
(A,D) y (B,C)
Sin embargo en el enunciado pone
"Los encuentros de una ronda se juegan en el siguiente orden: de todos los
encuentros que quedan por jugarse el encuentro siguiente sera el que cuente con
los 2 peores jugadores."
¿Quiere decir esto que entonces para n=2 el único caso posible es ((A,B) y (C,D)) pues los dos peores son C y D ya que sus correspondientes numeros de ranking son 3 y 4 respectivamente? Si fuera así alguien me puede decir como sería el árbol? Así:
Por lo tanto habrían dos casos posibles para que A, es decir el juagador 1 gane:
Que A gane a B y que C gane a D. Luego A gana a C
Que A gane a B y que D gane a C. Luego A gana a D
Mi problema es que no se como calcular las probabilidades de estos hechos.
Alguien me puede ayudar? Hay que utilizar probabilidad condicionada?