2o ciclo Contravarianza y covarianza

[leo_ro]

Hasta ahora consideraba que un espacio de hilbert, el producto punto estaba definido como

$\dst \vec{v}. \vec{w} = \left\vert{}\vec{v} \right\vert{} \left\vert{} \vec{w} \right\vert{} sen \alpha = \sum_{i = 1}^n {v}_{i} {w}_{i}$

En donde $\dst \vec{v}$ y $\vec{w}$ son dos elementos que pertenecen al espacio de hilbert. Y la norma es:

$\vec{v}. \vec{v} = \sum_{i = 1}^n {v}_{i} {v}_{i}$

Ahora en la relatividad se hace distinciones entre vectores. Así por ejemplo un vector contravariante es:

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tal que es posible realizar un cambio de base

${x'}^{i} = {M}^{i}_{j} {x}^{j}$ ó ${x}^{i} = {{M}^{i}_{j}}^{-1} {x'}^{j}$

Ahora bien, el producto punto está definido para un vector contravariante con un vector covariante:

$\left< {y}_{j} | {x}^{u} \right>$

¿Por qué se define así? Si anteriormente, no se trataba el producto punto para vectores diferentes, es más era posible definir la norma como el producto punto del vector por si mismo. En cambio con estas definiciones de covarianza y contravarianza para calcular la norma es necesario la métrica.