1r ciclo Ayuda con tensores y contracciones.

[MrM]

Muy buenas, necesito ayuda con el ejercicio 3 de esta imagen... No se me ocurre cómo hacerlo. Tened en cuenta que $C_{2}^{1}T$ denota una contracción de T en la que el segundo vector y la forma lineal quedan fijas en el vector T.

Esto es lo que he intentado hasta ahora:

Para hacer esa contracción, fijamos el segundo vector y la forma lineal en la base. De este modo, R(u,v)=T(u,x,v,phi), para un x y un phi fijos.

Para comprobar que es simétrico, hay que ver que R(u,v)=R(v,u).

$R(u,v)=T(u,x,v,\phi)=\phi(F(u,x,v))=\phi(kg(u,x)v-kg(u,v)x)$
$R(v,u)=T(v,x,u,\phi)=\phi(F(v,x,u))=\phi(kg(v,x)u-kg(v,u)x)$

Como g es una métrica, g(v,u)=g(u,v). Por lo tanto, para demostrar la igualdad solo hay que demostrar que $\phi (g(u,x)v)=\phi (g(v,x)u)$, y ahí me quedo. ¿Aguna ayudita? .

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Tras mucho pensarlo, se me ha ocurrido algo que puede funcionar. Mi problema es que había entendido mal el concepto de contracción, no se fijan los vectores, sino que se hace un sumatorio de modo que por esa posición vayan pasando todos los vectores de las bases normal y dual.
La cosa quedaría como aparece arriba. Pido que me digáis si está bien o mal, porque no suelo trabajar con sumatorios, e igual no se entiende lo que he hecho...