Cuadraturas 1

[Adosgel]

Re: ¿Lado pi?

Para no confundir las cosas quisiera decir que el rectangulo con lado (el que queramos) Pi, existe en la medida en que asumimos figuras compactas, lo que dá la propiedad de lados como segmentos de rectas reales.

Escobedo, si el procedimiento consta de infinitos pasos entonces se considera que no es contruible con regla y compás.

Esto es cierto si no se quiere ser quisquilloso; pero si se quiere precisar más, habría que decir que sí es un procedimiento correcto, aunque no adecuado en la práctica. Es tan correcto como las derivadas y cualquier método matemático que se diseñe despreciando valores infinitesimales (el cálculo infinitesimal), y mira que las matemáticas se sirven de estos procedimientos, y más en procesos diferenciales.

Saludos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Cuadraturas 1

[FONT=Verdana]En matemática, opino yo, una buena prueba o resolución debe aunar rigor y economía. [/FONT]
.......

[FONT=Verdana]Propiamente, cuadrar una figura geométrica es darle forma cuadrada al estilo griego clásico, es decir, con la sola ayuda de regla y compás. Las cuadraturas preservan las áreas.[/FONT]

[FONT=Verdana]Casi siempre que se habla de cuadrar y de cuadratura se hace referencia al círculo, es decir, se habla de un imposible, pues no existe ningún cuadrado cuya superficie sea equivalente a la de un círculo. Lo cual es muy fácil de entender si se observa que, dado un círculo de radio r, se trataría de hallar un segmento a tal que a^2 = π*r^2, es decir, a = r*√π, con π (pi) trascendente.[/FONT]

Hay personas que estudian fisica, otras matematicas y otras otras ciencias, con lo cual no hay nada de malo. Pero en cuanto alguien empieza mas o menos diciendo esto:

"...resolucion debe aunar rigor..."

y luego habla de la cuadratura los griegos

Que hasta ahi todo muy bien, pero cuando el tercer parrafo de esta cita se dice lo siguiente:

"Casi siempre que se habla de cuadrar y la cuadratura se hace con referencia al circulo, es decir, se habla de un imposible, (hasta ahi todo sigue perfecto, pero enseguida...) pues no existe ningun cuadrado cuya superficie sea equivalente a la de un circulo.
(de existir, si que existe de que se pueda construir con regla y compas con ejecucion de un numero finitos de trazos es otra cosa)En terminos de topologia, algebraica el circulo y el cuadrado son celulas simples de caracteristica Eulariana uno, o sea espacios topologicos similares.

Luego de hallarse un segmento de valor $r \sqrt{\pi}$ de que se halle se halla, vasta con decir que se encuentra entre $1.77 r < \sqrt{\pi} r< 1.78 r$ que deviera hacerse exactamente ese es otro cantar.

Lo que si puedo decir de lo anterior es que a lo mejor en la resolucion si existe el rigor, pero en el planteamiento no.

A mi, en un tiempo me gustaron las mates y ahora me gusta la fisica, yo no veo nada de malo con exponer ideas en matematicas o fisica, lo que si encuentro un poco duro de digerir es cuando las parsonas hablan de rigurosidad y luego no son consistentes. En mi opinion, rigurosidad con humildad peuden ir de la mano.

Para: Juanma1976
Bueno, en cuanto a lo de la construcion de $\pi$ esto podria hacerlo de la manera siguiente:

Es bien sabido que $3.14158 < \pi < 3.14160$ con un grado de aproximacion de $10^-5$de aqui solamente construyo estos segmentos $3, \frac{1}{10}, \frac{4}{100}, \frac{1}{1000}, \frac{6}{10000}$ y luego los sumo (si es que me quiero acercar por exeso, y si me quiero acercar por defecto tomo en consideracion el otro lado de la desigualdad). Para la construccion de segmentos de la forma $\frac{p}{q}$ con p y q elementos de los naturales, puedes consultar el libro de: Concepts of modern mathematics by Ian Stewart, de Dover publications, 1995.
Te dire que la idea basica es usar congruencia y semejanza de triangulos, te pido disculpas por no haber puesto las imagenes, pero he considerado que este post ya es bastante largo.

Regards

Jose

Pd. tambien se puede aproximar cuanto se quiera, con las otras expresiones de hice hace dos posts

[Juanma1976]

Re: ¿Lado pi?

Escobedo, si el procedimiento consta de infinitos pasos entonces se considera que no es contruible con regla y compás.

Pero supongamos que sí. Entonces, ¿podrías darnos un procedimiento para ir construyendo el segmento de longitud $\pi$?

La dificultad de construir un segmento igual a $\pi$ con regla y compas no se deve a que se no sea construible, se deve a que requerira un tiempo infinito para logralo. Expresiones como: $p-q$, $p+q$, $\frac{p}{q}$, $pq$y $\sqrt{r}$ pueden ser construidas facilmente.

Como cortesia del libro de Calculo (el Piskunov) que solia usar en secundaria $\pi$ esta escrito como:

$\displaystyle \pi= 2 \lim_{m \to \infty} (\frac{2}{1} \frac{2}{3} \frac{4}{3} \frac{4}{5}... \frac{2m}{2m-1} \frac{2m}{2m+1})$ y como es bien sabido numeros de la forma $\frac{p}{q}$ son construibles, de lo cual es facil observar que me tomara un tiempo infinito.

Otra manera de obtener $\pi$ (cortesia de Euler y la web de el rincomatematico) es:

$\displaystyle \pi = 2 ( \frac{2}{\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \frac{2}{\sqrt{2 +\sqrt{2 +\sqrt{2}}}} ...)$ que se puede calcular como combinaciones de lo expuesto arriba , pero tambien me tomara un tiempo infinito.

Conclucion: la dificultad radica en el tiempo que se tome, pero no en su construbilidad.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Lado pi?

¡Hombre, Escobedo! No se trata de que me des (?) un rectángulo de lado pi, aunque te agradezco la intención. Se trata de que, con ayuda de regla y compás, dibujes un ractángulo de lado pi. Lo cual es misión imposible.

La dificultad de construir un segmento igual a $\pi$ con regla y compas no se deve a que se no sea construible, se deve a que requerira un tiempo infinito para logralo. Expresiones como: $p-q$, $p+q$, $\frac{p}{q}$, $pq$y $\sqrt{r}$ pueden ser construidas facilmente.

Como cortesia del libro de Calculo (el Piskunov) que solia usar en secundaria $\pi$ esta escrito como:

$\displaystyle \pi= 2 \lim_{m \to \infty} (\frac{2}{1} \frac{2}{3} \frac{4}{3} \frac{4}{5}... \frac{2m}{2m-1} \frac{2m}{2m+1})$ y como es bien sabido numeros de la forma $\frac{p}{q}$ son construibles, de lo cual es facil observar que me tomara un tiempo infinito.

Otra manera de obtener $\pi$ (cortesia de Euler y la web de el rincomatematico) es:

$\displaystyle \pi = 2 ( \frac{2}{\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \frac{2}{\sqrt{2 +\sqrt{2 +\sqrt{2}}}} ...)$ que se puede calcular como combinaciones de lo expuesto arriba , pero tambien me tomara un tiempo infinito.

Conclucion: la dificultad radica en el tiempo que se tome, pero no en su construbilidad.

[Lemuel]

Perdón por el corte

[FONT=Verdana]He escrito:

"Veo que al leer ‘cuadratura’, algunos pensáis que el término solo es aplicable a la circunferencia, la elipse y otras figuras de perímetro curvo. Que quede claro que aquí, sin embargo, solo me estoy refiriendo de momento a figuras de lados rectos."

Entiéndase bien, pues: cuadratura = dibujo con regla y compás del cuadrado cuya área es equivalente a la de cualquier otra figura geométrica de lados rectos.

Sigo ahora con el problema de la suma de cuadrados.

[/FONT] [FONT=Verdana]Observemos que, si tuviésemos solo los dos primeros de esos cuadrados, dibujando a y b como catetos obtendríamos la hipotenusa x:[/FONT]

[FONT=Verdana]a^2 + b^2 = x^2,[/FONT]

[FONT=Verdana]y este valor de x sería el del lado del cuadrado suma de los otros dos. Si, de partida, tenemos más de dos cuadrados, seguiríamos de manera análoga:[/FONT]

[FONT=Verdana]c^2 + x^2 = a^2 + b^2 + c^2 = y^2[/FONT]

[FONT=Verdana]d^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = z^2[/FONT]

[FONT=Verdana]y así sucesivamente.[/FONT]

[FONT=Verdana]Y con eso hemos acabado con la cuadratura de figuras de lados rectos.[/FONT]

[FONT=Verdana]Es decir, teniendo en cuenta la imposibilidad de cuadrar el círculo, por no hablar ya de la elipse, etc., habríamos acabado con todo tipo de cuadraturas, si no fuese por el interesante caso (¿entre otros?) de las legendarias lúnulas de Hipócrates, a las que me referiré en el próximo post.[/FONT]

[Lemuel]

¿Lado pi?

¡Hombre, Escobedo! No se trata de que me des (?) un rectángulo de lado pi, aunque te agradezco la intención. Se trata de que, con ayuda de regla y compás, dibujes un ractángulo de lado pi. Lo cual es misión imposible.

[Jose D. Escobedo]

Re: Cuadraturas 2

[FONT=Verdana]Veo que al leer ‘cuadratura’, algunos pensáis que el término solo es aplicable a la circunferencia, la elipse y otras figuras de perímetro curvo. Que quede claro que aquí, sin embargo, solo me estoy refiriendo de momento a figuras de lados rectos. [/FONT]

Creo haber entendido bien, el detalle esta en que si te doy un rectangulo de un lado igual a $\pi$ y su otro lado igual a 1 y te pregunto cual es el area, es lo mismo que si te diera un circulo de radio igual a 1. Ahora si te pregunto: dado un segmento de medida 1 construye un cuadrado de la misma area con regla y compas. Lo cual es imposible porque $\pi$ es un #irracional que es trascendental y que no puede ser contruido con regla y compas. Si no crees ve lo siguiente.

http://en.wikipedia.org/wiki/Quadrature_of_the_circle

ademas te podria decir que estas construciones se reducen a aplicar congruencia y semejanza de triangulos, ademas del quinto postulado de Euclides. Yo te puedo construir el cuadrado con la misma area a la figura convexa que quieras dado un segmento igual a la unidad, siempre y cuando no existan # irracionales trascentales de por medio.

[Lemuel]

Cuadraturas 2

[FONT=Verdana]Veo que al leer ‘cuadratura’, algunos pensáis que el término solo es aplicable a la circunferencia, la elipse y otras figuras de perímetro curvo. Que quede claro que aquí, sin embargo, solo me estoy refiriendo de momento a figuras de lados rectos. [/FONT]

[FONT=Verdana]Tras el caso de los rectángulos, veamos ahora cómo se cuadran los triángulos.[/FONT]



[FONT=Verdana]Como saben casi todos los niños y niñas que han superado con éxito la edad cultural de chupete y dodotis (o, por lo menos, los niños y niñas extranjeros), el área de un triángulo es el semiproducto base*altura. (La demostración es tan sencilla que me da algo de corte ponerla.) O sea que: [/FONT]

[FONT=Verdana]Área triángulo= b*h/2. [/FONT]

[FONT=Verdana]Si dibujamos, pues, un rectángulo con esa misma base b y una altura h’ = h/2, el problema de cuadrar el triángulo lo habremos reducido al de cuadrar un rectángulo b*h’, cosa que ya todos sabemos hacer sin ninguna dificultad, o eso espero.[/FONT]

[FONT=Verdana]Tras los rectángulos y triángulos, consideremos ahora el caso de los polígonos.[/FONT]

[FONT=Verdana]Para cuadrar, es decir, hallar el área de un polígono cualquiera, trazamos, como es lógico, las correspondientes diagonales dividiéndolo en un determinado número de triángulos, cuya cuadratura no tiene secretos para nosotros.[/FONT]

[FONT=Verdana]Así llegaríamos a disponer de un conjunto de cuadrados[/FONT]

[FONT=Verdana]a^2, b^2, c^2, … ,[/FONT]

[FONT=Verdana]cuya suma nos proporcionaría el cuadrado solución, m^2.[/FONT]

[FONT=Verdana]Ahora bien, queridos amigos, ¿cómo se cuadra, a su vez, esa suma de cuadrados? Es decir, ¿cómo se dibuja el cuadrado suma total de esas áreas parciales del polígono dado?[/FONT]

[Jose D. Escobedo]

Re: Cuadraturas 1: un par de soluciones

[FONT=Verdana]Solución A[/FONT]

[FONT=Verdana]Supongamos una pantalla de cine panorámica, que es un rectángulo de base b > altura a. Empezando por la esquina superior izquierda y siguiendo en el sentido de avance de las agujas del reloj, nombramos los vértices A, B, C, D. Pinchando el compás en B, elevamos C al nivel de AB, de modo que tenemos el segmento ampliado AC = AB + BC. Con centro en el punto medio O de AC dibujamos una semicircunferencia de radio AC/2 = r sobre este segmento. Por tanto, la distancia entre O y B es b – r. Por el punto B trazamos, perpendicular a AC, una recta que corta a la semicircunferencia en E. Pues bien, puede afirmarse entonces que:[/FONT]

[FONT=Verdana]El segmento BE = m es el lado del cuadrado de área a*b, o sea: a*b = m^2.[/FONT]

[FONT=Verdana]Demostración:[/FONT]

[FONT=Verdana]m^2 = r^2 – (b - r)^2 = (r + b – r)*(r – b + r) = b*a.[/FONT]


[FONT=Verdana]Solución B[/FONT]

[FONT=Verdana]La cuadratura del rectángulo está claramente implícita en la siguiente figura (confío en que salga) de un triángulo rectángulo, con <A = 90º:[/FONT]

[FONT=Verdana][/FONT]

[FONT=Verdana]Recuérdese la elemental propiedad geométrica h^2 = m*n. Es decir que, en un triángulo rectángulo, “la altura h levantada sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes m y n en que h divide a ésta hipotenusa: m/h = h/n”. Probar esto es trivial: si llamamos D a la base de la altura h, es evidente que ADB ≈ CDA, y de ahí la proporciones señaladas.[/FONT]

[FONT=Verdana]Por otro lado, se sabe y está probado desde los tiempos de Euclides que todo triángulo inscrito en una circunferencia es rectángulo si uno de sus lados (= hipotenusa) es el diámetro.[/FONT]

[FONT=Verdana]Todo lo cual forma parte de los conocimientos previos elementales, o “background”, del sujeto de secundaria que se enfrenta a este problemilla. De modo que la solución sería la siguiente.[/FONT]

[FONT=Verdana]Sean m y n los lados de un cuadrilátero rectángulo. Con centro en el punto medio del segmento BC = m + n trazamos una semicircunferencia y, desde el punto de unión de m y n, una perpendicular DA que corta a la semicircunferencia en A.[/FONT]

[FONT=Verdana]Entonces, h es el lado del cuadrado que buscamos, pues h^2 = m*n. QED. [/FONT]

Yo pense que dado un segmento-patron de 1 se podria encontrar la cuadratura de un rectangulo de lados a y b. Tambien ya verifique que si puede para los $\mathbb{Q}^+$, pero sigo sosteniendo que para los irracionales, reales y complejos no se puede. El problema seria construir segmentos de numeros como $\pi$, $e$, etc...

Claro esta que dados los segmentos a y b es mas facil (a o b puede ser $\pi$), de cualqueir foma esto es entretenido.

[Ulises7]

Re: Cuadraturas 1

Bueno perdonad por mi paja mental de ayer , la verdad es que estaba bastante espeso y no sé de donde saque eso , me di cuenta de mi error por la noche pensando en que habia puesto el teorema de Pitágoras y que el área de un rectángulo es: $A = a . b$ asi que:
$<br /> a . b = l^2$

$l = ( a. b )^1/2$

saludos

[Ale12]

Re: Cuadraturas 1: un par de soluciones

[FONT=Verdana]Solución A[/FONT]

[FONT=Verdana]Supongamos una pantalla de cine panorámica, que es un rectángulo de base b > altura a. Empezando por la esquina superior izquierda y siguiendo en el sentido de avance de las agujas del reloj, nombramos los vértices A, B, C, D. Pinchando el compás en B, elevamos C al nivel de AB, de modo que tenemos el segmento ampliado AC = AB + BC. Con centro en el punto medio O de AC dibujamos una semicircunferencia de radio AC/2 = r sobre este segmento. Por tanto, la distancia entre O y B es b – r. Por el punto B trazamos, perpendicular a AC, una recta que corta a la semicircunferencia en E. Pues bien, puede afirmarse entonces que:[/FONT]

[FONT=Verdana]El segmento BE = m es el lado del cuadrado de área a*b, o sea: a*b = m^2.[/FONT]

[FONT=Verdana]Demostración:[/FONT]

[FONT=Verdana]m^2 = r^2 – (b - r)^2 = (r + b – r)*(r – b + r) = b*a.[/FONT]


[FONT=Verdana]Solución B[/FONT]

[FONT=Verdana]La cuadratura del rectángulo está claramente implícita en la siguiente figura (confío en que salga) de un triángulo rectángulo, con <A = 90º:[/FONT]

[FONT=Verdana][/FONT]

[FONT=Verdana]Recuérdese la elemental propiedad geométrica h^2 = m*n. Es decir que, en un triángulo rectángulo, “la altura h levantada sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes m y n en que h divide a ésta hipotenusa: m/h = h/n”. Probar esto es trivial: si llamamos D a la base de la altura h, es evidente que ADB ≈ CDA, y de ahí la proporciones señaladas.[/FONT]

[FONT=Verdana]Por otro lado, se sabe y está probado desde los tiempos de Euclides que todo triángulo inscrito en una circunferencia es rectángulo si uno de sus lados (= hipotenusa) es el diámetro.[/FONT]

[FONT=Verdana]Todo lo cual forma parte de los conocimientos previos elementales, o “background”, del sujeto de secundaria que se enfrenta a este problemilla. De modo que la solución sería la siguiente.[/FONT]

[FONT=Verdana]Sean m y n los lados de un cuadrilátero rectángulo. Con centro en el punto medio del segmento BC = m + n trazamos una semicircunferencia y, desde el punto de unión de m y n, una perpendicular DA que corta a la semicircunferencia en A.[/FONT]

[FONT=Verdana]Entonces, h es el lado del cuadrado que buscamos, pues h^2 = m*n. QED. [/FONT]

buenasss, no entre para responder esta pregunta sino para que m digan como hacer una, soy nuevo en este foro, y no se como realizar una pregunta, graciass..!!

[Lemuel]

Cuadraturas 1: un par de soluciones

[FONT=Verdana]Solución A[/FONT]

[FONT=Verdana]Supongamos una pantalla de cine panorámica, que es un rectángulo de base b > altura a. Empezando por la esquina superior izquierda y siguiendo en el sentido de avance de las agujas del reloj, nombramos los vértices A, B, C, D. Pinchando el compás en B, elevamos C al nivel de AB, de modo que tenemos el segmento ampliado AC = AB + BC. Con centro en el punto medio O de AC dibujamos una semicircunferencia de radio AC/2 = r sobre este segmento. Por tanto, la distancia entre O y B es b – r. Por el punto B trazamos, perpendicular a AC, una recta que corta a la semicircunferencia en E. Pues bien, puede afirmarse entonces que:[/FONT]

[FONT=Verdana]El segmento BE = m es el lado del cuadrado de área a*b, o sea: a*b = m^2.[/FONT]

[FONT=Verdana]Demostración:[/FONT]

[FONT=Verdana]m^2 = r^2 – (b - r)^2 = (r + b – r)*(r – b + r) = b*a.[/FONT]


[FONT=Verdana]Solución B[/FONT]

[FONT=Verdana]La cuadratura del rectángulo está claramente implícita en la siguiente figura (confío en que salga) de un triángulo rectángulo, con <A = 90º:[/FONT]

[FONT=Verdana][/FONT]

[FONT=Verdana]Recuérdese la elemental propiedad geométrica h^2 = m*n. Es decir que, en un triángulo rectángulo, “la altura h levantada sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes m y n en que h divide a ésta hipotenusa: m/h = h/n”. Probar esto es trivial: si llamamos D a la base de la altura h, es evidente que ADB ≈ CDA, y de ahí la proporciones señaladas.[/FONT]

[FONT=Verdana]Por otro lado, se sabe y está probado desde los tiempos de Euclides que todo triángulo inscrito en una circunferencia es rectángulo si uno de sus lados (= hipotenusa) es el diámetro.[/FONT]

[FONT=Verdana]Todo lo cual forma parte de los conocimientos previos elementales, o “background”, del sujeto de secundaria que se enfrenta a este problemilla. De modo que la solución sería la siguiente.[/FONT]

[FONT=Verdana]Sean m y n los lados de un cuadrilátero rectángulo. Con centro en el punto medio del segmento BC = m + n trazamos una semicircunferencia y, desde el punto de unión de m y n, una perpendicular DA que corta a la semicircunferencia en A.[/FONT]

[FONT=Verdana]Entonces, h es el lado del cuadrado que buscamos, pues h^2 = m*n. QED. [/FONT]

[Jose D. Escobedo]

Re: Cuadraturas 1

[FONT=Verdana]Propiamente, cuadrar una figura geométrica es darle forma cuadrada al estilo griego clásico, es decir, con la sola ayuda de regla y compás. Las cuadraturas preservan las áreas.[/FONT]

[FONT=Verdana]Casi siempre que se habla de cuadrar y de cuadratura se hace referencia al círculo, es decir, se habla de un imposible, pues no existe ningún cuadrado cuya superficie sea equivalente a la de un círculo. Lo cual es muy fácil de entender si se observa que, dado un círculo de radio r, se trataría de hallar un segmento a tal que a^2 = π*r^2, es decir, a = r*√π, con π (pi) trascendente.[/FONT]

[FONT=Verdana]Pero hallar el área de cualquier otra figura equivale también en geometría a cuadrarla con regla y compás, ya se trate de un triángulo, un rectángulo o un polígono cualquiera, regular o irregular.[/FONT]

[FONT=Verdana]Propongo, pues, en primer lugar y para principiantes, la sencilla cuadratura, bella y concisa, de un rectángulo de lados a y b.[/FONT]

Para $a,b \epsilon \mathbb{N}$ es facil de contruir con regla y compas un cuadrado de $l=\sqrt{ab}$ esto se reduce a contruir todos estos numeros $1, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 4, \sqrt 5 ,.., \sqrt n,..$ para todo $n \epsilon \mathbb{N}$, en los $\mathbb{Q}^+$ no lo he tratado, pero para los irracionales, reales y los complejos positivos no se puede porque solamente es necesario que se tome como "counterexample" que a o b sean= $\pi$.

[lucass]

Re: Cuadraturas 1

no, yo entendi que el área del cuadrado debe ser igual al área del rectangulo, o sea: $L^2 = a*b$. Además hay que decir cómo construir el cuadrado con regla y compás, a partir de tener un rectangulo de lados a y b, no es así??

[Ulises7]

Re: Cuadraturas 1

Debo confesar que no habia oido antes ese concepto pero creo entender la idea asi pues:

A partir del área de un rectangulo de lados $a$ y $b$ debemos conseguir un cuadrado de lado $l$:

$a . b = l^2$

por tanto:

$l = ( a. b )^1/2$

¿Era esto lo que pedias? ya que puede que no lo haya entendido bien...

saludos

pd: acabo de corregir las ecuaciones, no sé en que estaba pensando cuando puse aquello... .