1r ciclo Problema de examen: Aplicaciones lineales con matrices.

[arreldepi]

Hola, mirando exámenes de otros años he encontrado un problema de aplicaciones lineales en el espacio de las matrices, en general me cuestan un poco y me gustaría saber si voy por buen camino en la resolución de éste. Dice así:

Sea $M_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de las matrices cuadradas 2x2 con coeficientes reales, definimos la aplicación

$$\begin{aligned} f:& M_2(\mathbb{R}) \to M_2(\mathbb{R}) \\<br /> & \qquad A \mapsto \frac 12 (A+A^t)<br /> \end{aligned}$$

Lo primero que pide es demostrar que f es lineal y luego que des la matriz de f en la base

$$e_1 = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}, e_3 = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, e_4 = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$$

Mi pregunta es, lo que hay que hacer aquí, es "hacer" la aplicación lineal de cada elemento de la base, es decir $f(e_1), f(e_2), f(e_3), f(e_4)$?

Si es así, me queda que la matriz de la aplicación es

$$f=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\frac 12 & \frac 12 & 0 \\ 0 & \frac 12 & \frac 12 & 0 \\ 0&0&0&1\end{pmatrix}$$

En el último apartado del problema, pide que diagonalicemos $f$ y que encontremos la base de$M_2(\mathbb{R})$en la que diagonaliza.

Primero de todo, busco el polinomio característico de $f$, eliminando la primera fila y la primera columna y desarrollando por su adjunto, me queda que:

$$p(x) = (1-x)\left|\begin{matrix} \frac 12 -x & \frac 12 & 0 \\ 0& \frac 12-x & 0\\ 0 & 0& 1-x \end{matrix}\right| = (1-x)^2\left( {\frac 12 -x}\right)^2=0.$$

Por tanto, sus valores propios son $\lambda^1 = 1, \quad \lambda^2 = \frac 12$, ambos con multiplicidad dos.
Ahora, para que diagonalice

$$\dim\; \mathrm{Nuc}(f-\lambda ^iI) = \mathrm{multiplicidad\quad de\quad \lambda ^i}$$

Para $\lambda = 1$, me sale que la dimensión es 2, en cambio, para $\lambda = \frac 12$ me sale que es 3... por lo tanto, no debería diagonalizar.

Alguien me puede decir qué hago mal?? Quizás el error venga de mucho antes.

Muchas gracias!

[SO3]

Re: Problema de examen: Aplicaciones lineales con matrices.

Los autovalores estan mal calculados.

[arreldepi]

Re: Problema de examen: Aplicaciones lineales con matrices.

Ya he visto el error, me he dejado un $\frac 12$ en el determinante del polinomio característico.