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Cuando de números reales se trata, uno está acostumbrado ya a tratar con conceptos tales como números racionales, irracionales, periódicos, algorítmicos, algebraicos o trascendentes. Sin embargo, existe otro concepto, no menos interesante, aunque sí algo más desconocido, el de número normal.
Para introducir dicho concepto, trataremos en primer lugar sobre cadenas de símbolos. Para ello necesitamos un conjunto de símbolos, que usaremos para generar nuestras cadenas. Tomemos por ejemplo, el conjunto {a,b,c}, y generemos cadenas a partir de dichos símbolos.
Nuestras dos primeras cadenas, podrían ser "abcca" y "acabcb", por poner un ejemplo. Hay una diferencia importante entre ambas cadenas. La segunda se dice que es simplemente aleatoria, la primera no lo es. Que queremos decir con simplemente aleatoria? Pues si se fijan, si tomamos un símbolo al azar en la segundo cadena, la probabilidad de que este sea cualquiera de los 3 símbolos, es la misma, ya que en dicha cadena, los 3 símbolos se repiten el mismo número de veces. Por el contrario, eso no sucede si observan detenidamente en la primera cadena
Bien, hay todavía otro concepto mucho más importante que el de ser simplemente aleatorio, que es el de serlo completamente. Se dice que una cadena es completamente aleatoria, si al tomar al azar una cantidad finita de dígitos consecutivos de dicha cadena, existe la misma probabilidad para cada posibilidad teorica.
por ejemplo..... nuestra primera cadena no era simplemente aleatoria, luego no puede serlo completamente de ninguna forma..... Y que pasa con nuestra segunda cadena? Esta ciertamente es simplemente aleatoria, pero supongamos que en vez de tomar un símbolo al azar como haciamos antes , ahora tomamos dos símbolos consecutivos. Las posibilidades serían ac,ca,ab,bc y cb y cada una de ellas aparece una vez en nuestra cadena, luego para cada una de ellas habría una probabilidad de 1/5. Sin embargo un sencillo calculo de probabilidades, nos dice que las posibles cadenas de dos símbolos que podemos formar no son 5 sinó 3^2=9 y que la probabilidad de cada una de ellas debería ser 1/9 y no 1/5. Luego tomando dos dígitos consecutivos, nuestra cadena ya no es aleatoria.
Es fácil ver que toda cadena completamente aleatoria, deberá tener una longitud infinita, ya que si su longitud es un número finito, pongamos n, entonces solo podemos formar una cadena de longitud n de entre todas las posibles, y por lo tanto, no hay equiprobabilidad ninguna entre dichas cadenas.
Bien volvamos ahora a nuestros queridos números reales. Un número real, ciertamente podemos considerarlo como una cadena cuyos símbolos seran los de la base de númeración que se use para expresarlo. Considerando así, un número real como si fuera una cadena de símbolos, uno puede preguntarse, existen números reales que sean completamente aleatorios?
En efecto, existen, y no solo eso, la inmensa mayoría de números reales lo son....
Pero para empezar notemos que no todos.... Si se fijan, ningún racional puede ser completamente aleatorio, bien porque su expresión será finita, o bien porque será infinita pero periódica, es decir con un cierto estribillo que se repite indefinidamente hasta la saciedad....
Luego los racionales quedan descartados, ya que la finitud o la repetición de la pauta, nos condecen inexorablemente a una perdida de aleatoriedad.
De todas formas, la cantidad de números reales, es un infinito no numerable, mientras que la cantidad de racionales no.
Aún así es fácil ver que existen números reales que sin ser racionales, no pueden ser completamente aleatorios, por ejemplo el número 0,01001000100001000001......... es fácil ver que aunque es algorítmico, no es periódico ya que la adición de un número de ceros cada vez mayor rompe cualquier periodo posible. Además no puede ser completamente aleatorio si lo consideramos escrito en base 10, porque los dos unicos dígitos que aparecen en su expresión decimal, son el 0 y el 1, con lo que se rompe toda equiprobabilidad con los otros dígitos del sistema de numeración.
Y todavía hay más, de hecho la cantidad de números reales que no son completamente aleatorios es infinita no numerable. Para verlo consideremos la representación binaria de un número real. Como las distintas cadenas binarias, representan todos los reales posibles, y estos son no numerables, tenemos que existe una cantidad de cadenas binarias no numerables. Pero considerando dichas cadenas en base 10, ninguna de ellas puede ser completamente aleatoria, ya que solo aparecen los dígitos 1 y 0, con lo que se rompe la equiprobabilidad.
Y llegados a este punto, tenemos que los reales son no numerables, y los reales que no son completamente aleatorios también. Que quería decir entonces , que la inmensa mayoría de los reales eran completamente aleatorios?
Pues el hecho es que, los reales que no son completamente aleatorios, tienen medida de Lebesgue nula!!!
O dicho de otra forma.... Si usted toma un intervalo de la recta real, y toma un número real al azar de dicho intervalo, es casi seguro que será completamente aleatorio !!!
Es por ello que a todo número real completamente aleatorio, lo llamaremos a partir de ahora normal.
Hay que notar un detalle, un número puede ser normal en una base de numeración y no serlo en otra.
Un número que es normal en cualquier base, lo llamaremos completamente normal.
Es fácil demostrar que casi todo número real es normal, sin embargo es muy difícil demostrar la normalidad de un número en concreto. De hecho entre los pocos números de los que se ha demostrado su normalidad en base 10, tenemos los dos siguientes....
0,1234567891011121314151617181920212223..... (Cuyos dígitos decimales son la concatenación de los números naturales.)
0,23571113171923.......(Cuyos dígitos decimales son la concatenación de los números primos)
Sin embargo, la abrumadora mayoría de números normales, entre los reales, conduce a suponer (aunque no esté demostrado rigurosamente) que números como pi, e o los números algebraicos, seran enrealidad números normales.
Y para terminar, una pequeña reflexión, piensen que dado que la extensión decimal de un número normal ha de ser infinita, el número de apariciones de una cadena finita determinada en su extensión ha de ser también infinita, ya que sinó, la probabilidad de dicha cadena no sería la esperada por equiprobabilidad con otras cadenas posibles de la misma longitud, sinó que sería simplemente 0.
O dicho de otra forma..... en todo número normal, podemos encontrar debidamente codificado, cualquier texto habido o por haber, no una, o unas pocas veces, sinó una cantidad infinita de veces.
Para introducir dicho concepto, trataremos en primer lugar sobre cadenas de símbolos. Para ello necesitamos un conjunto de símbolos, que usaremos para generar nuestras cadenas. Tomemos por ejemplo, el conjunto {a,b,c}, y generemos cadenas a partir de dichos símbolos.
Nuestras dos primeras cadenas, podrían ser "abcca" y "acabcb", por poner un ejemplo. Hay una diferencia importante entre ambas cadenas. La segunda se dice que es simplemente aleatoria, la primera no lo es. Que queremos decir con simplemente aleatoria? Pues si se fijan, si tomamos un símbolo al azar en la segundo cadena, la probabilidad de que este sea cualquiera de los 3 símbolos, es la misma, ya que en dicha cadena, los 3 símbolos se repiten el mismo número de veces. Por el contrario, eso no sucede si observan detenidamente en la primera cadena
Bien, hay todavía otro concepto mucho más importante que el de ser simplemente aleatorio, que es el de serlo completamente. Se dice que una cadena es completamente aleatoria, si al tomar al azar una cantidad finita de dígitos consecutivos de dicha cadena, existe la misma probabilidad para cada posibilidad teorica.
por ejemplo..... nuestra primera cadena no era simplemente aleatoria, luego no puede serlo completamente de ninguna forma..... Y que pasa con nuestra segunda cadena? Esta ciertamente es simplemente aleatoria, pero supongamos que en vez de tomar un símbolo al azar como haciamos antes , ahora tomamos dos símbolos consecutivos. Las posibilidades serían ac,ca,ab,bc y cb y cada una de ellas aparece una vez en nuestra cadena, luego para cada una de ellas habría una probabilidad de 1/5. Sin embargo un sencillo calculo de probabilidades, nos dice que las posibles cadenas de dos símbolos que podemos formar no son 5 sinó 3^2=9 y que la probabilidad de cada una de ellas debería ser 1/9 y no 1/5. Luego tomando dos dígitos consecutivos, nuestra cadena ya no es aleatoria.
Es fácil ver que toda cadena completamente aleatoria, deberá tener una longitud infinita, ya que si su longitud es un número finito, pongamos n, entonces solo podemos formar una cadena de longitud n de entre todas las posibles, y por lo tanto, no hay equiprobabilidad ninguna entre dichas cadenas.
Bien volvamos ahora a nuestros queridos números reales. Un número real, ciertamente podemos considerarlo como una cadena cuyos símbolos seran los de la base de númeración que se use para expresarlo. Considerando así, un número real como si fuera una cadena de símbolos, uno puede preguntarse, existen números reales que sean completamente aleatorios?
En efecto, existen, y no solo eso, la inmensa mayoría de números reales lo son....
Pero para empezar notemos que no todos.... Si se fijan, ningún racional puede ser completamente aleatorio, bien porque su expresión será finita, o bien porque será infinita pero periódica, es decir con un cierto estribillo que se repite indefinidamente hasta la saciedad....
Luego los racionales quedan descartados, ya que la finitud o la repetición de la pauta, nos condecen inexorablemente a una perdida de aleatoriedad.
De todas formas, la cantidad de números reales, es un infinito no numerable, mientras que la cantidad de racionales no.
Aún así es fácil ver que existen números reales que sin ser racionales, no pueden ser completamente aleatorios, por ejemplo el número 0,01001000100001000001......... es fácil ver que aunque es algorítmico, no es periódico ya que la adición de un número de ceros cada vez mayor rompe cualquier periodo posible. Además no puede ser completamente aleatorio si lo consideramos escrito en base 10, porque los dos unicos dígitos que aparecen en su expresión decimal, son el 0 y el 1, con lo que se rompe toda equiprobabilidad con los otros dígitos del sistema de numeración.
Y todavía hay más, de hecho la cantidad de números reales que no son completamente aleatorios es infinita no numerable. Para verlo consideremos la representación binaria de un número real. Como las distintas cadenas binarias, representan todos los reales posibles, y estos son no numerables, tenemos que existe una cantidad de cadenas binarias no numerables. Pero considerando dichas cadenas en base 10, ninguna de ellas puede ser completamente aleatoria, ya que solo aparecen los dígitos 1 y 0, con lo que se rompe la equiprobabilidad.
Y llegados a este punto, tenemos que los reales son no numerables, y los reales que no son completamente aleatorios también. Que quería decir entonces , que la inmensa mayoría de los reales eran completamente aleatorios?
Pues el hecho es que, los reales que no son completamente aleatorios, tienen medida de Lebesgue nula!!!
O dicho de otra forma.... Si usted toma un intervalo de la recta real, y toma un número real al azar de dicho intervalo, es casi seguro que será completamente aleatorio !!!
Es por ello que a todo número real completamente aleatorio, lo llamaremos a partir de ahora normal.
Hay que notar un detalle, un número puede ser normal en una base de numeración y no serlo en otra.
Un número que es normal en cualquier base, lo llamaremos completamente normal.
Es fácil demostrar que casi todo número real es normal, sin embargo es muy difícil demostrar la normalidad de un número en concreto. De hecho entre los pocos números de los que se ha demostrado su normalidad en base 10, tenemos los dos siguientes....
0,1234567891011121314151617181920212223..... (Cuyos dígitos decimales son la concatenación de los números naturales.)
0,23571113171923.......(Cuyos dígitos decimales son la concatenación de los números primos)
Sin embargo, la abrumadora mayoría de números normales, entre los reales, conduce a suponer (aunque no esté demostrado rigurosamente) que números como pi, e o los números algebraicos, seran enrealidad números normales.
Y para terminar, una pequeña reflexión, piensen que dado que la extensión decimal de un número normal ha de ser infinita, el número de apariciones de una cadena finita determinada en su extensión ha de ser también infinita, ya que sinó, la probabilidad de dicha cadena no sería la esperada por equiprobabilidad con otras cadenas posibles de la misma longitud, sinó que sería simplemente 0.
O dicho de otra forma..... en todo número normal, podemos encontrar debidamente codificado, cualquier texto habido o por haber, no una, o unas pocas veces, sinó una cantidad infinita de veces.