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a^n-b^n y demás.....
El motivo de este post, no es en esencia muy elevado. Podría decirse que trata de como a partir de una fórmula relativamente sencilla y algo de ingenio, pueden llegar a demostrarse hechos un tanto curiosos y sorprendentes. De hecho, estos hechos han sido tratados aisladamente en otros posts, pero es interesante tener una visión de conjunto.
Partimos de la simple igualdad:
a^n-b^n=(a-b)*(a^(n-1)+a^(n-2)*b+......+a*b^(n-2)+b^(n-1))
fácilmente comprobable realizando simplemente la multiplicación y comprobando el resultado.
Y para que puede servirnos esto?, podría uno preguntarse, pues eso es lo que veremos a continuación precisamente...
Podemos empezar por la función sigma(n) para n€N. Dicha función es la que aplicada a un número natural nos da la suma de sus divisores. Así por ejemplo, los divisores de 8 son 1,2,4 y 8 , luego sigma(8)=1+2+4+8=15
Si conocemos la descomposición de un número en factores primos, tal como n=p1^e1*p2^e2*.....*p^k^ek , es fácil comprobar que:
sigma(n)=(1+p1+p1^2+....+p1^e1)*(1+p2+p2^2+....+p2^e2)*......* (1+pk+pk^2+....+pk^ek)
Con lo que aplicando nuestra formulita incial tendremos que:
sigma(n)=(p1^(e1+1)-1)/(p1-1)*(p2^(e2+1)-1)/(p2-1)*..........*
(pn^(en+1)-1)/(pn-1)
Así por ejemplo tendriamos sigma(8)=sigma(2^3)=(2^4-1)/(2-1)=15.
Incluso podemos generalizar dicha función considerando la función sigma(n,m) que nos da como resultado la suma de las potencias emésimas de los divisores de un natural n. Así tendriamos que sigma(8,3)=1^3+2^3+4^3+8^3=585.
La correspondiente generalización de la función sigma sería:
sigma(n,m)=(1+p1^m+p1^(2*m)+....+p1^(e1*m))*(1+p2^m+p2^(2*m)+....+p2^(e2*m))*......* (1+pk^m+pk^(2*m)+....+pk^(ek*m))= (p1^(m*(e1+1))-1)/(p1^m-1)*(p2^(m*(e2+1))-1)/(p2^m-1)*.....*(pk^(m*(ek+1))-1)/(pk^m-1)
Así tendriamos que sigma(8,3)=sigma(2^3,3)=(2^(4*3)-1)/^(2^3-1)=585
Sigamos ahora nuestro recorrido abordando otros temas relacionados, para ello vamos a demostrar ahora un interesante teorema que dice, sean a,p€N
Si a^p-1 es primo, entonces a=2 y p es primo.
Conviene notar antes que nada que el recíproco no es cierto ya que p puede ser primo y sin embargo 2^p-1 no serlo.Así 2^11-1=2047=23*89.
A los números de la forma 2^p-1 con p primo se les llama números de Mersenne y a aquellos que son primos, les llamamos primos de Mersenne. La importancia de dichos primos radica en ser los mayores descubiertos hasta la fecha, ya que existen test de primalidad muy eficientes para dichos números. También son importantes por otro hecho que veremos posteriormente, pero.... no adelantemos acontecimientos y centremonos por el momento en demostrar nuestro teorema. Para ello veamos la siguiente igualdad, obtenida como no con nuestra formulita inicial otra vez :
a^n-1=a^n-1^n=(a-1)*(a^(n-1)+a^(n-2)+.....+a+1)
Es fácil ver que si a>2 el número es compuesto, luego para que a^n-1 sea primo es necesario que a=2. Por otro lado tenemos que si n es compuesto, existiran dos números a y b con 1<a<b<n tales que n=a*b y tendremos que:
2^n-1=2^(a*b)-1=(2^a)^b-1^b=(2^a-1)*((2^a)^(b-1)+(2^a)^(b-2)+......+2^a+1)
Entonces es claro que 2^a-1>1 y el número es compuesto otra vez. Por lo tanto n ha de ser un número primo como pretendiamos demostrar....
Y ahora siguiendo nuestro recorrido, podriamos preguntarnos, porqué nuestros antepasados decidieron que Dios hizo el mundo en precisamente 6 días, y no en 4, 5, 7 u 8 por ejemplo?
Pues porque los antiguos, conocían ya la importancia de los números primos, y estaban obsesionados en temas relacionados con divisibilidad, congruencias etc......
Y que tiene el 6 de especial que lo relacione con estos temas?
Pues 6 es el menor número perfecto conocido, es decir, 6 es el menor número que es igual a la suma de sus divisores propios ya que 6=1+2+3.
Más formalmente un número natural n es perfecto sí y solo sí sigma(n)=2*n.
Y todo esto a que viene?.... se preguntarán ustedes, pues muy simple, vamos a demostrar que si n€N entonces n es perfecto, sí y solamente sí es de la forma 2^(p-1)*(2^p-1) en donde 2^p-1 es precisamente un primo de Mersenne.
Empezemos pues:
Si n=2^(p-1)*(2^p-1) con p y 2^p-1 primos entonces tenemos que
sigma(n)=(2^p-1)*((2^p-1)^2-1)/(2^p-2)=(2^p-1)*((2^p)^2-2*2^p)/(2^p-2)=(2^p-1)*2^p*(2^p-2)/(2^p-2)=(2^p-1)*2^p=2n
Por lo tanto n es perfecto.
Para demostrar el recíproco conviene señalar que la función sigma es multiplicativa, es decir que si a y b son primos entre sí entonces sigma(a*b)=sigma(a)*sigma(b) como fácilmente podeis comprobar. Hecha esta aclaración , si n es par entonces tenemos que n=2^k*i con i impar, por lo que:
sigma(n)=(2^(k+1)-1)*sigma(i)
Por otro lado como n se supone perfecto será
sigma(n)=2*n=2^(k+1)*i
Por lo tanto tenemos que
sigma(i)*(2^(k+1)-1)=2^(k+1)*i
Pero 2^(k+1)-1 y 2^(k+1) son primos entre sí, por lo tanto deberá ser sigma(i)=2^(k+1) e i=2^(k+1)-1, es decir que sigma(i)=i+1, y eso claro está solo es posible si i es primo, luego 2^(k+1)-1 es primo y n=2^k*^(2^(k+1)-1).
Para terminar diré que, nunca se ha encontrado un número perfecto impar, pero sin embargo no está demostrado que no existan. Tampoco se sabe si hay una cantidad infinita de números perfectos, ya que tampoco se sabe si hay infinitos primos de Mersenne, que por lo que veis , estan en estrecha realción con los números perfectos.....
Osea que por probar que noq uede, quien sabe, tal vez alguno de nuestros lectores se anime a demostrar algo al respecto de estos temas pendientes....
Un saludo
Partimos de la simple igualdad:
a^n-b^n=(a-b)*(a^(n-1)+a^(n-2)*b+......+a*b^(n-2)+b^(n-1))
fácilmente comprobable realizando simplemente la multiplicación y comprobando el resultado.
Y para que puede servirnos esto?, podría uno preguntarse, pues eso es lo que veremos a continuación precisamente...
Podemos empezar por la función sigma(n) para n€N. Dicha función es la que aplicada a un número natural nos da la suma de sus divisores. Así por ejemplo, los divisores de 8 son 1,2,4 y 8 , luego sigma(8)=1+2+4+8=15
Si conocemos la descomposición de un número en factores primos, tal como n=p1^e1*p2^e2*.....*p^k^ek , es fácil comprobar que:
sigma(n)=(1+p1+p1^2+....+p1^e1)*(1+p2+p2^2+....+p2^e2)*......* (1+pk+pk^2+....+pk^ek)
Con lo que aplicando nuestra formulita incial tendremos que:
sigma(n)=(p1^(e1+1)-1)/(p1-1)*(p2^(e2+1)-1)/(p2-1)*..........*
(pn^(en+1)-1)/(pn-1)
Así por ejemplo tendriamos sigma(8)=sigma(2^3)=(2^4-1)/(2-1)=15.
Incluso podemos generalizar dicha función considerando la función sigma(n,m) que nos da como resultado la suma de las potencias emésimas de los divisores de un natural n. Así tendriamos que sigma(8,3)=1^3+2^3+4^3+8^3=585.
La correspondiente generalización de la función sigma sería:
sigma(n,m)=(1+p1^m+p1^(2*m)+....+p1^(e1*m))*(1+p2^m+p2^(2*m)+....+p2^(e2*m))*......* (1+pk^m+pk^(2*m)+....+pk^(ek*m))= (p1^(m*(e1+1))-1)/(p1^m-1)*(p2^(m*(e2+1))-1)/(p2^m-1)*.....*(pk^(m*(ek+1))-1)/(pk^m-1)
Así tendriamos que sigma(8,3)=sigma(2^3,3)=(2^(4*3)-1)/^(2^3-1)=585
Sigamos ahora nuestro recorrido abordando otros temas relacionados, para ello vamos a demostrar ahora un interesante teorema que dice, sean a,p€N
Si a^p-1 es primo, entonces a=2 y p es primo.
Conviene notar antes que nada que el recíproco no es cierto ya que p puede ser primo y sin embargo 2^p-1 no serlo.Así 2^11-1=2047=23*89.
A los números de la forma 2^p-1 con p primo se les llama números de Mersenne y a aquellos que son primos, les llamamos primos de Mersenne. La importancia de dichos primos radica en ser los mayores descubiertos hasta la fecha, ya que existen test de primalidad muy eficientes para dichos números. También son importantes por otro hecho que veremos posteriormente, pero.... no adelantemos acontecimientos y centremonos por el momento en demostrar nuestro teorema. Para ello veamos la siguiente igualdad, obtenida como no con nuestra formulita inicial otra vez :
a^n-1=a^n-1^n=(a-1)*(a^(n-1)+a^(n-2)+.....+a+1)
Es fácil ver que si a>2 el número es compuesto, luego para que a^n-1 sea primo es necesario que a=2. Por otro lado tenemos que si n es compuesto, existiran dos números a y b con 1<a<b<n tales que n=a*b y tendremos que:
2^n-1=2^(a*b)-1=(2^a)^b-1^b=(2^a-1)*((2^a)^(b-1)+(2^a)^(b-2)+......+2^a+1)
Entonces es claro que 2^a-1>1 y el número es compuesto otra vez. Por lo tanto n ha de ser un número primo como pretendiamos demostrar....
Y ahora siguiendo nuestro recorrido, podriamos preguntarnos, porqué nuestros antepasados decidieron que Dios hizo el mundo en precisamente 6 días, y no en 4, 5, 7 u 8 por ejemplo?
Pues porque los antiguos, conocían ya la importancia de los números primos, y estaban obsesionados en temas relacionados con divisibilidad, congruencias etc......
Y que tiene el 6 de especial que lo relacione con estos temas?
Pues 6 es el menor número perfecto conocido, es decir, 6 es el menor número que es igual a la suma de sus divisores propios ya que 6=1+2+3.
Más formalmente un número natural n es perfecto sí y solo sí sigma(n)=2*n.
Y todo esto a que viene?.... se preguntarán ustedes, pues muy simple, vamos a demostrar que si n€N entonces n es perfecto, sí y solamente sí es de la forma 2^(p-1)*(2^p-1) en donde 2^p-1 es precisamente un primo de Mersenne.
Empezemos pues:
Si n=2^(p-1)*(2^p-1) con p y 2^p-1 primos entonces tenemos que
sigma(n)=(2^p-1)*((2^p-1)^2-1)/(2^p-2)=(2^p-1)*((2^p)^2-2*2^p)/(2^p-2)=(2^p-1)*2^p*(2^p-2)/(2^p-2)=(2^p-1)*2^p=2n
Por lo tanto n es perfecto.
Para demostrar el recíproco conviene señalar que la función sigma es multiplicativa, es decir que si a y b son primos entre sí entonces sigma(a*b)=sigma(a)*sigma(b) como fácilmente podeis comprobar. Hecha esta aclaración , si n es par entonces tenemos que n=2^k*i con i impar, por lo que:
sigma(n)=(2^(k+1)-1)*sigma(i)
Por otro lado como n se supone perfecto será
sigma(n)=2*n=2^(k+1)*i
Por lo tanto tenemos que
sigma(i)*(2^(k+1)-1)=2^(k+1)*i
Pero 2^(k+1)-1 y 2^(k+1) son primos entre sí, por lo tanto deberá ser sigma(i)=2^(k+1) e i=2^(k+1)-1, es decir que sigma(i)=i+1, y eso claro está solo es posible si i es primo, luego 2^(k+1)-1 es primo y n=2^k*^(2^(k+1)-1).
Para terminar diré que, nunca se ha encontrado un número perfecto impar, pero sin embargo no está demostrado que no existan. Tampoco se sabe si hay una cantidad infinita de números perfectos, ya que tampoco se sabe si hay infinitos primos de Mersenne, que por lo que veis , estan en estrecha realción con los números perfectos.....
Osea que por probar que noq uede, quien sabe, tal vez alguno de nuestros lectores se anime a demostrar algo al respecto de estos temas pendientes....
Un saludo