Un momento!!!!Que sabemos de la gravedad???

[Richard R Richard]

Si . sí. Sería idealmente un vaivén eterrno, y se tardaría en ir y volver el mismo tiempo o período que en cerrar una órbita circular a la tierra al ras de la superficie, obviamente claro esta en condiciones ideales.

[Anaximandro22]

Entiendo entonces que mi respuesta es correcta ... ¿ No es así ?

[Richard R Richard]

Un péndulo ideal,(ausencia de aire, la flexión no produce calentamiento, del hilo, la contribución de coriolis la hacemos nula etc,) tampoco tiene porque perder amplitud de movimiento salvo introducción de otras fuerzas, y cuando eliminas cualquier rozamiento ,por la conservación de la energía el movimiento se vuelve perpetuo,

[Anaximandro22]

En el ejemplo teórico del enunciado , sin influencia de fuerzas gravitatorias externas a la Tierra ni influencia de los movimientos de la misma , ni rozamientos , la bola se comportará como algo parecido a un péndulo pero con trayectoria rectilínea , desplazándose desde un extremo al otro del tubo que atraviesa la Tierra , pero con la diferencia de que un péndulo pierde inercia hasta detenerse por acción de la gravedad que lo atrae hacia el centro de la Tierra y en este caso el centro de la Tierra forma parte del recorrido del movimiento "pendular" , con lo que no se detendría nunca si no actúa sobre él ninguna otra fuerza distinta a la de la gravedad de la Tierra.

[Livilro]

Ok entiendo, aun variando se conservaría con las correcciones del CM de ambos, gracias Richard

Veo que no es tan enfocado a la amplitud de la oscilación sino al periodo de la misma, que en condiciones ideales se conservaría.
( al final como si lanzamos un objeto desde mas profundo todavia que desde la superficie. )

[Richard R Richard]

Hola fijate, que lo que puede variar el periodo de oscilación , no es la masa del cuerpo que cae, sino la masa del objeto que crea la gravedad,

Es decir da lo mismo tires una bola, o un autobús, el periodo es el mismo, (siempre y cuando respetes las condiciones que hacen al movimiento ideal)

Si la masa varia por una fuerza interna, por ejemplo (saltas desde dentro hacia fuera del autobús), Entonces, es la posición del CM de ambas partes la que conserva el periodo de oscilación.

[Livilro]

Saludos Richard ,

sin rozamientos, sin rotaciones , sin traslaciones y
¿la masa aparente del objeto que dejemos caer tiene que ser totalmente invariante y constante en el tiempo.? ( para que efectivamente no se reduzca la amplitud de la oscilación )


imagino que entra dentro de "sin rozamientos" tambien el que la masa sea constante.

[Richard R Richard]

Aquí están las matemáticas de cálculo básico del movimiento de caída libre,
Sin rotación, sin rozamientos, sin traslaciones, etc

[Richard R Richard]

Despreocupate Hace no mucho tiempo ,previo al hacer este post ya lo había intentado en excel,la baja primer visión me hizo desistir. Quizá python o visual basic sean mejores herramientas para calculo numérico.

[JCB]

Gracias Richard, aunque tampoco quería abusar de tu dedicación. Lo pensaré, y a ver si llego a los 76 min.

[Richard R Richard]

La densidad es función del radio.
la gravedad es función solo de la masa que se encuentra a menor radio.

La corteza puede ser de un espesor de 12 a 35 km dependiendo si es oceánica o continental respectivamente, la capa oceánica es mas densa de unos 2900kg//m3. Puedes usar ese valor
el manto superior (de la discontinuidad de Mohorovičić a los 665 km de profundidad se encuentra el final y mide 630 km).
el manto inferior (de los 3548 km de profundidad al final y mide 2883 km).
La densidad en esta región aumenta linealmente de 3,4 a 4,6 (en el manto superior) y de 4,6 a 5,5 (en el manto inferior)

La densidad media de la Tierra es de 5515 kg/m3, la mayor del Sistema Solar.Dado que la densidad media de los materiales de la superficie oscila entre 2600 y 3500 kg/m3, deben existir materiales más densos en el núcleo de nuestro planeta. La sismología aporta otras evidencias de la alta densidad del núcleo. Se calcula que la densidad media del núcleo es de 11.000 kg/m3.

Esos datos de la wikipedia te pueden servir para hacer un modelo de la función densidad en función del radio.
También puedes aplicar el principio de superposición para calcular la gravedad que aporta cada capa.
La función densidad no es contante con el radio lo cual hace difícil la integración para el cálculo de la velocidad y la posición en el tiempo.

Como el núcleo es más denso que la densidad media, este acelera más a los cuerpos, que la suposición de aceleración con densidad media , resulta que calculo refinado obtiene un tiempo de viaje menor.


si la densidad del núcleo es contante con el radio, que no lo es pero seguimos simplificando que lo es

la aceleración de la gravedad entre el centro y el radio del núcleo es

$a(r)=G\rho_n\dfrac43 \pi r \quad \to \quad 0\leq r \leq R_n$

sobre la superficie del núcleo

$g_n=G\dfrac{M_n}{R_n^2}$

pasado este radio la aceleración tiene dos componentes, una debida al núcleo y otra a la densidad del manto interior

la componente debida el núcleo decae con el cuadrado de la distancia al centro como la ley de gravitación universal

$a_n(r)=\dfrac{GM_n}{r^2}=g_n\dfrac{R_n^2}{r^2}$

el casquete esférico debido al manto aporta una parte de la aceleración, el calculo sería fácil dada una densidad media y aplicando el principio de superposición, es decir a la gravedad creada esfera de radio $r$ le quito la gravedad de una esfera de radio $R_n$, pero la densidad no es constante, el calculo ya no es tan sencillo pues la densidad resulta de

$\rho(r)_{int}=\rho_{extMint}+(\rho_{intMint}-\rho_{extMint})\dfrac{R_{extMint}-r}{R_{extMint}-R_{intMint}} \quad \to \quad R_n< r \leq R_{extMint}$

int =interno
ext=externo
M = Manto

para la primera capa del manto o interna y para capa exterior

$\rho(r)_{ext}=\rho_{extMext}+(\rho_{intMext}-\rho_{extMext})\dfrac{R_{extMext}-r}{R_{extMext}-R_{intMext}}\quad \to \quad R_{extMint}=R_{intMext} < r \leq R_{extMext}$

lo que aporta cada capa resulta de

$a_{M(r)int}=\dst\int_{R_{intMint}}^r \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \dfrac{\rho(r)_{int}}{r^2}r^2\sin\theta \, d\theta \, d\phi \, dr$

llegado el limite entre capas de manto, el manto interno , ya responde a la superposición directa de la gravitación universal por su masa propia como capa

$a(r) =G\dfrac{M_n}{r^2}+G\dfrac{M_{Mint}}{r^2}+a_M(r)ext$

donde

$a_{M(r)ext}=\dst\int_{R_{intMext}}^r \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \dfrac{\rho(r)_{ext}}{r^2}r^2\sin\theta \, d\theta \, d\phi \, dr$

Luego te queda analizar la corteza es de pequeño espesor poco altera el resultado tengas o no densidad constante

la aceleración será la suma de 4 aportes

$a(r) =G\dfrac{M_n}{r^2}+G\dfrac{M_{Mint}}{r^2}+G\dfrac{M_{Mext}}{r^2}+a_C(r) \quad \to \quad R_{extMext} < r \leq R_{Tierra}$

luego cuando $r=R_{Tierra} \quad \to \quad a(R_{Tierra} )=g$ y $M_T/V_T=\rho_{media}$



Pero como verás el análisis cinemático de una aceleración no uniforme con el tiempo y la posición, requiere integración un poco mas compleja, si lo que deseas es estimar el tiempo total hasta el centro, te sugiero uses un método de integración como Runge Kutta para poder evaluar cada un $\Delta r$ como varia $v(r)$ y $a(r)$ , para extraer cuanto le lleva recorrer esa distancia , es decir un breve $\Delta t$ cuya sumatoria o integral $t$ debe ser luego de todo este tocho menor que 84 min.

puedes usar algo de lo que hay aqui

https://forum.lawebdefisica.com/arti...dimensi%C3%B3n

[JCB]

Hola a tod@s.

Evidentemente, Richard, que el cálculo cuyo resultado da 84 min, supone condiciones ideales. Lo que sigo sin saber, es qué condiciones hay que suponer para obtener el resultado de 76 min.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

El caso es que he considerado también el radio polar y el radio ecuatorial, pero con los 3 radios empleados, el tiempo total es aproximadamente de 84 min. No acabo de ver de dónde salen los 76 min.

Saludos cordiales,
JCB.

Hola ,grscias por tu interes. Tu calculo es correcto suponiendo condiciones ideales.
En realidad la tierra no es una esfera de densidad constante, como dije mas arriba.
Son mas de 3 capas bien definidas, pero para simplificar solo 3 capas: Corteza exterior, manto y núcleo.
Como la aceleración de la gravedad sigue creciendo hasta que la densidad es la del manto, la velocidad de un objeto al llegar a esa capa sera mayor que si haces el calculo con densidad constante.
Al viajar mas rápido el tiempo de ida y vuelta sera menor. Como muchas de los cálculos de densidad son teóricos, o por estudio de lava de volcanes, donde la lava ha perdido contenido de gases, tampoco es muy fiable hacer con ellos los cálculos, por eso el estimado de error es bastante.

[JCB]

Hola a tod@s.

Me quedé intrigado con la frase de Richard “La teoría dice que entre 76 a 84 minutos la tendremos de vuelta.”. Partiendo de una aceleración proporcional a la distancia al centro de la Tierra, con los ejes de coordenadas pasando por su centro, llego a la siguiente expresión del tiempo

$t=\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arcsin\left(\dfrac{r}{R}\right)}{\sqrt{\dfrac{g}{R}}}$.

Haciendo r=0 m, R=6.371.000 m (radio medio de la Tierra) y g=9,8 m/s2, obtengo t=1.266,52 s=21,11 min, que sería el tiempo que tarda en llegar desde la superficie, al centro de la Tierra. El tiempo de ida y vuelta a la superficie es 4t=5.066,06 s=84,43 min.

El caso es que he considerado también el radio polar y el radio ecuatorial, pero con los 3 radios empleados, el tiempo total es aproximadamente de 84 min. No acabo de ver de dónde salen los 76 min.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Tomando todas las abstracciones,
que la tierra no gira,
que no hay rozamiento con el aire,
que no le imprimimos fuerza adicionales a la pelota,
Que la tierra no gira respecto al sol,
Entonces la pelota llega a la superficie el otro lado y vuelve a la posición de salida unos 84 minutos después y repetiría el ciclo cada 4 minutos perpetuamente.

Pero si de algún modo le extraes energía ya no llegara a la superficie, e ira oscilando con menor amplitud (radio) hasta detenerse en el centro.
Por eso nada de fuente de energía gratuitas, lo siento eso es scifi, o click bait.

Por otro lado la la integral de gauss de la que te hablo no es la de la campana sino de https://es.m.wikipedia.org/wiki/Ley_...a%20superficie.
para el caso gravitacional.

Lo que debes saber es que en superficie el radio es máximo, la aceleración es casi máxima, y la velocidad mínima.
Y en el centro la aceleración y el radio son nulos, pero la velocidad es máxima, por eso en condiciones ideales nunca se detiene en el centro.