Aniquilación de pares

[China]

Hola, en un problema sobre aniquilación de pares, me dan la velocidad de positrón y electrón y preguntan cuál es la longitud de onda de la radiación resultante de la colisión?

Aplico la siguiente formula $h\nu= 2m_0c^2 + 2 E_c$ misma energía cinética de las partículas por que nos dan la misma velocidad, de aquí obtengo un valor de $h\nu$, y puedo obtener la longitud de onda, pero... como en la aniquilación se producen dos fotones, tengo que dividir esa energía en 2 y obtener con esa mitad de la energía la longitud de onda no??

[Alriga]

China por favor, ¿puedes poner el enunciado completo y textual del ejercicio? Recuerda que en este tipo de ejercicios siempre hay que aplicar lo mismo:

• la conservación del momento lineal y
• la conservación de la energía

Sin conocer el enunciado completo, podemos avanzar que:

Llamando $m$ a la masa del electrón y del positrón, $E_1, \, E_2$ a las energías cinéticas de electrón y positrón, en general, (si el resultado de la colisión es la emisión de 2 fotones) se cumplirá, (conservación de la energía)

$2 mc^2+E_1+E_2=h\nu_1+h\nu_2$

Si las velocidades de electrón y positrón son iguales, entonces $E_1=E_2=E$ y se cumple:

$$2 (mc^2+E)=h\nu_1+h\nu_2$$

Si además el choque fuese frontal, ello implicaría que el momento lineal inicial es cero (ya que las masas del electrón y del positrón son iguales y las velocidades iguales y opuestas) y que por lo tanto también será cero el momento lineal final de la pareja de fotones, de lo que se deduce (conservación del momento lineal)

$\vec p_{\gamma_1} + \vec p_{\gamma_2} = 0 \rightarrow p_{\gamma_1} = p_{\gamma_2} \quad \rightarrow \quad \dfrac{h\nu_1}c =\dfrac{h\nu_2}c \rightarrow \nu_1=\nu_2=\nu$

Y obtenemos que los 2 fotones resultantes deben tener la misma frecuencia y por lo tanto la misma energía. Sustituyendo en (1) queda:

$mc^2+E=h\nu$

$mc^2+E=\dfrac{h c}{\lambda}$

La longitud de onda de cada uno de los dos fotones:

$\lambda=\dfrac{h c}{m c^2+E}$

Puede interesarte consultar:

En una aniquilación electrón positrón, pueden producirse dos fotones, pero también tres fotones...

Aniquilación electrón-positrón

Saludos.

[China]

Hola, no puse el enunciado porque no tenia uno concreto de aniquilación, tenia la formula, derivada de la conservación de la energía y me surgió esa duda, la cuestión que si en la ecuación (1) aplicamos que las frecuencias de ambos fotones son iguales, la siguiente formula yo la entendería así $mc^2+E=2h\nu$, que es precisamente la duda que planteo.. y no entiendo la formula sin duplicar la energía del fotón puesto que son dos.

[Alriga]

... si en la ecuación (1) aplicamos que las frecuencias de ambos fotones son iguales, la siguiente formula yo la entendería así $mc^2+E=2h\nu$

No, no queda eso, como la masa del electrón y del positrón son iguales, el desarrollo correcto es:

$(mc^2+E_1)+(m c^2 + E_2)=(h\nu_1)+(h\nu_2)$

Si las energías cinéticas del electrón y el positrón son iguales $E_1=E_2=E$

$$2 (mc^2+E)=h\nu_1+h\nu_2$$

Si en la expresión (1) la frecuencia de los 2 fotones es la misma $\nu_1=\nu_2=\nu$ entonces:

$2 (mc^2+E)=h\nu+h\nu$

$2 (mc^2+E)=2 h\nu$

Y finalmente

$\cancel 2 (mc^2+E)=\cancel 2 h\nu \qquad \rightarrow \qquad \boxed{mc^2+E=h\nu}$

Saludos.

[China]

uhyyy si, me comí el 2 del primer término, me quedó claro, muchas gracias!!