Operaciones elemento de linea y matriz métrica, agujeros negros acústicos

[IsaacDL]

Re: Operaciones elemento de linea y matriz métrica, agujeros negros acústicos

Hola Magic24, igual te contesto tarde, pero la métrica en covariante se calcula tal y como dices, realizando la inversa de toda la vida de tu matriz de la métrica contravariante.

[Magic24]

Re: Operaciones elemento de linea y matriz métrica, agujeros negros acústicos

Gracias, sigo dándole vueltas, creo que ya lo tengo.

[Richard R Richard]

Re: Operaciones elemento de linea y matriz métrica, agujeros negros acústicos

No domino totalmente el tema te paso algunas relaciones útiles de tensores en álgebra tensorial



$g_{\alpha \beta}=\dfrac{\partial x^i}<br /> {\partial y^{\alpha}}\cdot\dfrac{\partial x^j}<br /> {\partial y^{\beta}}\cdot g_{ij}<br />$

$g^{\alpha \beta}=\dfrac{\partial y_i}<br /> {\partial x_{\alpha}}\cdot\dfrac{\partial y_j}<br /> {\partial x_{\beta}}\cdot g^{ij}<br />$

$[g]^{-1}_{\alpha \beta}=g^{\alpha \beta}$

$\sqrt g$ es la raíz de la métrica con todos los índices bajados

[Magic24]

Buenas, en un trabajo sobre agujeros negros acústicos de Visser, Unruh y Carlos Barceló, me encuentro que utilizando la siguiente matriz simétrica 4x4:

$<br /> f^{\mu \nu} (t, \vec x) = \dfrac{\rho_0}{c_s^2} \begin{pmatrix} <br /> -1 & \cdot & - v_o^j \\<br /> \cdot & \cdot & \cdot \\<br /> - v_o^i & \cdot & c_s^2 \delta^{ij} - v_o^i v_o^j<br /> \end{pmatrix}$

Definiendo:

$f^{\mu \nu} = \sqrt{-g} g^{\mu \nu}$

Siendo $g$ el determinante de la métrica $g^{\mu \nu}$. Según el artículo, se llega a que $\sqrt{-g}=\dfrac{\rho_0^2}{c_s}$
Podemos obtener entonces:

$<br /> g^{\mu \nu} (t, \vec x) = \dfrac{1}{\rho_0 c_s} \begin{pmatrix} <br /> -1 & \cdot & - v_o^j \\<br /> \cdot & \cdot & \cdot \\<br /> - v_o^i & \cdot &c_s^2 \delta^{ij} - v_o^i v_o^j <br /> \end{pmatrix}$

Pero en el elemento de línea nos interesa $ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$, por lo que:

$<br /> g_{\mu \nu} (t, \vec x) = \dfrac{\rho_0}{c_s} \begin{pmatrix} <br /> -(c_s^2-v_0^2) & \cdot & - v_o^j \\<br /> \cdot & \cdot & \cdot \\<br /> - v_o^i & \cdot & \delta^{ij} <br /> \end{pmatrix}$

Obtenemos que:

$ds^2 = \dfrac{\rho_0}{c_s} [-c_s^2 dt^2 +(dx^i -v_0^i dt)\delta^{ij}(dx^j - v_0^j dt)]$

Que es la métrica efectiva.

Hasta aquí el problema, hay algunas herramientas matemáticas que me faltan o no sé emplear y no consigo obtener dicho elemento de línea con esos ingredientes. Por ejemplo, ¿cómo se invierte $f^{\mu \nu} = \sqrt{-g} g^{\mu \nu}$ para obtener la matriz métrica? ¿Para obtener $g_{\mu \nu}$ simplemente es la inversa?

Agradezco de antemano cualquier posible ayuda que me puedan prestar.