Otras carreras Duda con la métrica FLRW

[MrTicTac]

Hola, tengo una duda respecto al parámetro de curvatura $k$ en la métrica de FLRW:

$dS^{2}=-dt^{2}+a\left(t\right)^{2}\left(\frac{dr^{2}}{1-kr^{2}}+r^{2}d\theta^{2}+r^{2}sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)$

Quisiera entender si ese parámetro se refiere a que el universo puede expandirse por siempre ($k=-1$), expandirse hasta un cierto punto sin colapsar ($k=0$), o colapsarse ($k=1$). O si se refiere a que si se viaja en línea recta, en un universo de curvatura esférica se va a llegar eventualmente al punto de partida. O si se refiere a otra cosa. Porque la explicación que suelo encontrar es la que se refiere a si los ángulos de un triángulo suman más o menos de 180°, pero eso me resulta abstracto, porque si dibujo un triángulo, siempre obtengo 180°, ¿o cómo es que miden esa desviación en la práctica?

En caso de que la explicación sea la primera, ¿el factor de escala $a\left(t\right)$ no cumple ya el rol de decir si el universo eventualmente colapsa o no? Mi impresión es que los roles de ambas variables se superpondrían en ese caso. ¿Y cómo se relacionaría el hecho de que el universo se colapse o no con el tema de los triángulos?

He visto que hay otros hilos referidos a la curvatura, pero no estoy seguro de que se refieran al mismo parámetro específicamente, por eso abrí uno nuevo.

Muchas gracias desde ya.

[Jaime Rudas]

Re: Duda con la métrica FLRW

Hola, tengo una duda respecto al parámetro de curvatura $k$ en la métrica de FLRW:

$dS^{2}=-dt^{2}+a\left(t\right)^{2}\left(\frac{dr^{2}}{1-kr^{2}}+r^{2}d\theta^{2}+r^{2}sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)$

Quisiera entender si ese parámetro se refiere a que el universo puede expandirse por siempre ($k=-1$), expandirse hasta un cierto punto sin colapsar ($k=0$), o colapsarse ($k=1$). O si se refiere a que si se viaja en línea recta, en un universo de curvatura esférica se va a llegar eventualmente al punto de partida. O si se refiere a otra cosa. Porque la explicación que suelo encontrar es la que se refiere a si los ángulos de un triángulo suman más o menos de 180°, pero eso me resulta abstracto, porque si dibujo un triángulo, siempre obtengo 180°, ¿o cómo es que miden esa desviación en la práctica?

Se refiere a lo segundo, o sea, a si los ángulos de un triángulo suman 180° (k=0), más de 180° (k=1) o menos de 180° (k=-1). Si dibujas un triángulo en un espacio euclidiano, la suma de los ángulos te da 180°, pero si el espacio no es euclidiano (como sucede en un campo gravitacional no nulo) entonces la suma no da 180°. Ahora bien, el campo gravitacional terrestre es tan leve que nos es prácticamente imposible medir la diferencia de los 180°.

[MrTicTac]

Re: Duda con la métrica FLRW

Se refiere a lo segundo, o sea, a si los ángulos de un triángulo suman 180° (k=0), más de 180° (k=1) o menos de 180° (k=-1). Si dibujas un triángulo en un espacio euclidiano, la suma de los ángulos te da 180°, pero si el espacio no es euclidiano (como sucede en un campo gravitacional no nulo) entonces la suma no da 180°. Ahora bien, el campo gravitacional terrestre es tan leve que nos es prácticamente imposible medir la diferencia de los 180°.

Muchas gracias por la respuesta! Entonces, a ver si entendí bien: si la geometría es plana, podemos desplazarnos infinitamente sin volver al punto de origen; si es esférica luego de un tiempo de desplazarnos volvemos al lugar de origen; y si es la silla de montar? En ese último no estoy seguro de qué pasa. En cuanto a lo de los ángulos del triángulo, entiendo que el que los ve mayores o menores a 180° es un observador alejado del campo gravitatorio, es correcto? porque el que está en el campo entiendo que debería verlos de 180°. Si es así, me queda la duda de cómo se mide la curvatura en el universo, si no hay nadie que lo pueda ver desde afuera.

[Alriga]

Re: Duda con la métrica FLRW

Hola MrTicTac, bienvenido a La web de Física, por favor como nuevo miembro lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

... Entonces, a ver si entendí bien: si la geometría es plana, podemos desplazarnos infinitamente sin volver al punto de origen; si es esférica luego de un tiempo de desplazarnos volvemos al lugar de origen; y si es la silla de montar? En ese último no estoy seguro de qué pasa ...

La geometría hiperbólica es infinita como la plana. Si en la geometría hiperbólica sigues una "linea recta" (geodésica), te irás alejando siempre del punto del que has partido.

... En cuanto a lo de los ángulos del triángulo, entiendo que el que los ve mayores o menores a 180° es un observador alejado del campo gravitatorio, es correcto? porque el que está en el campo entiendo que debería verlos de 180° ...

No, si el universo no es plano, es posible en principio medir la diferencia de la suma de ángulos respecto de 180º en triángulos dentro del propio Universo. No podemos mirar el Universo desde fuera del Universo. En principio sería imaginable la posibilidad de situar 3 naves muy alejadas en el espacio intergaláctico, que formasen un triángulo con rayos LASER y medir los ángulos. Otra cosa es que actualmente no disponemos (y posiblemente nunca dispongamos) de la tecnología suficiente para realizar un experimento así. Pero lo más importante es que tenemos métodos alternativos más sencillos para medir la curvatura del Universo. Creo que te interesará repasar Curvatura del espacio-tiempo

... me queda la duda de cómo se mide la curvatura en el universo, si no hay nadie que lo pueda ver desde afuera ...

Midiendo el ratio de densidad $\Omega_0$ del Universo, mira Densidad crítica y ratio de densidad del Universo

Las mejores medidas de las que se dispone en la actualidad, obtenidas al combinar las medidas del satélite Planck-2015 con las medidas de Oscilaciones Acústicas de Bariones, dan para el valor del ratio de densidad actual

$\Omega_0=1.000 \pm 0.005$

Por lo tanto, las mejores medidas de las que se dispone en la actualidad indican que el Universo es Plano con 3 cifras significativas. ¿Cómo se mide $\Omega_0$ ? Por ejemplo, estudiando el Espectro de potencias de las fluctuaciones de temperatura del CMB

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Duda con la métrica FLRW

En cuanto a lo de los ángulos del triángulo, entiendo que el que los ve mayores o menores a 180° es un observador alejado del campo gravitatorio, es correcto?

Como complemento a la impecable explicación de Alriga, te comento: el universo tiene curvatura prácticamente nula, pero solo a muy, muy grandes escalas. Es análogo a lo que ves en un placa de hormigón: si la ves completa, es, en general, perfectamente plana; pero, si te acercas a la superficie, ves pequeños granos y grumos. Lo mismo pasa con el universo: tiene, en general, curvatura prácticamente nula, pero, a menores escalas, tienes planetas, estrellas, agujeros negros y galaxias que hacen que se distorsione la curvatura. Así las cosas, aunque el universo es, en general, euclídeo, a nivel local no lo es y, entre mayor sea el campo gravitatorio, mayor será la divergencia. Ahora bien, como ya vimos, en un espacio no euclídeo, la suma de los ángulos de un triángulo es diferente a 180°, lo que, en realidad, significa que no se cumple el quinto postulado de Euclides. Otra consecuencia de no cumplirse el quinto postulado es que los rayos de luz se 'curvan' al atravesar campos gravitatorios muy fuertes, lo que fue demostrado experimentalmente por Frank Dyson y Arthur Eddington hace exactamente un siglo, como se puede ver aquí.

[MrTicTac]

Re: Duda con la métrica FLRW

Otra consecuencia de no cumplirse el quinto postulado es que los rayos de luz se 'curvan' al atravesar campos gravitatorios muy fuertes, lo que fue demostrado experimentalmente por Frank Dyson y Arthur Eddington hace exactamente un siglo, como se puede ver aquí.

Este detalle creo que me ayuda a formar una imagen del problema de la curvatura a escala universal. Entiendo que la desviación del rayo de luz de su trayectoria recta es lo que permitiría medir la curvatura directamente, si se hiciera el experimento que menciona Alriga de las 3 naves alejadas. Me recuerda un poco al viejo truco de echarle pintura al hombre invisible.

Midiendo el ratio de densidad $\Omega_0$ del Universo, mira Densidad crítica y ratio de densidad del Universo

Esto de medir el ratio de densidad me confunde un poco, yo había leído que la densidad crítica es lo que determina si el universo se expande por siempre o colapsa, ¿estoy mezclando diferentes conceptos de densidades?¿o es que además de los ángulos del triángulo, o la longitud de la circunferencia, la curvatura también determina este aspecto? Disculpen por volver al inicio.

Muchas gracias Alriga, Jaime Rudas, por la ayuda brindada. Soy un aficionado tratando de comprender la belleza de la relatividad general y del universo, y sus explicaciones son muy valiosas para mí.

[Alriga]

Expansión eterna y geometría del Universo

... Esto de medir el ratio de densidad me confunde un poco, yo había leído que la densidad crítica es lo que determina si el universo se expande por siempre o colapsa, ...

Como te ha explicado Jaime en el post#2 la densidad del Universo, (densidad a la que contribuyen la materia, la radiación y la energía oscura), respecto de la densidad crítica lo que marca es la geometría del Universo:

* Densidad inferior a la crítica $\Omega_0 < 1 \Longrightarrow$ curvatura negativa, universo hiperbólico infinito $\big (1-\Omega_0=\Omega_{K_0} >0 \big )$

* Densidad igual a la crítica $\Omega_0 = 1 \Longrightarrow$ curvatura nula, universo plano infinito $\big (1-\Omega_0=\Omega_{K_0} =0 \big )$

* Densidad superior a la crítica $\Omega_0 > 1 \Longrightarrow$ curvatura positiva, universo esférico finito $\big (1-\Omega_0=\Omega_{K_0} <0 \big )$

A priori, el hecho de que la expansión sea o bien eterna o que se detenga y el universo posteriormente colapse, no está relacionado con que el universo sea esférico-finito, o infinito-plano o infinito-hiperbólico.

Y en este momento debes pensar que te estoy engañando, y debes estar a punto de decirme que estás seguro de haber leído en varios sitios, que la densidad crítica es lo que determina si el universo se expande por siempre o colapsa.

Bien repito, la frontera de la densidad crítica solo marca la geometría del Universo, lo que sucede es que si en el Universo solo hubiese materia y radiación es sencillo demostrar que en un Universo esférico la expansión siempre se detiene y le sigue un período de contracción, mientras que universos planos o hiperbólicos se expanden eternamente. Sin embargo esto ya no tiene porqué ser así si además de materia y radiación hay energía oscura en el Universo.

Como aproximadamente desde 1930 hasta la década de los 1990s se estuvo pensando que el valor de la Constante Cosmológica de las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General era nulo, Λ = 0 (inexistencia de la energía oscura), innumerables textos desde 1930 hasta 1990s asocian directamente la frontera de la densidad crítica a la expansión eterna o no eterna del Universo. Esos textos, al considerar sólo la situación Λ = 0, están actualmente obsoletos.

Ya que en el momento en el que estudiamos un universo con presencia de energía oscura, $\Lambda > 0$ , aunque la densidad crítica $\Omega_0 = 1$ sigue marcando la geometría, sin embargo ya no marca la frontera de transición entre expansión eterna y no eterna. Que la expansión sea eterna o bien se detenga, dependerá de la cantidad relativa de cada una de las energías que componen ese Universo.

Para los universos planos o hiperbólicos se sigue cumpliendo que todos se expanden eternamente, pero universos esféricos finitos con suficiente cantidad de energía oscura pueden expandirse eternamente. Te pongo un par de ejemplos que intentan ser ilustrativos:

a) Universo en el que $\boldsymbol{\Omega_0=1.4}$ con $\Omega _{R_0}=0.1 \quad \Omega _{M_0}=1.3 \quad \boldsymbol{\Omega _{\Lambda_0}=0}$ es un universo esférico finito en el que la expansión se detendrá y habrá posterior contracción.

b) Universo en el que $\boldsymbol{\Omega_0=1.4}$ con $\Omega _{R_0}=0.1 \quad \Omega _{M_0}=1.2 \quad \boldsymbol{\Omega _{\Lambda_0}=0.1}$ es un universo esférico finito en el que la expansión continuará siempre.

c) Universo en el que $\boldsymbol{\Omega_0=2.9}$ con $\Omega _{R_0}=0.1 \quad \Omega _{M_0}=2.7 \quad \boldsymbol{\Omega _{\Lambda_0}=0.1}$ es un universo esférico finito en el que la expansión se detendrá y habrá posterior contracción.

Saludos.

[MrTicTac]

Re: Duda con la métrica FLRW

Muchas gracias nuevamente. Creo que esto resuelve todas mis dudas. Lo de los textos de 1930 a 1990 es clave, no lo sabía y no he visto esa aclaración en ningún otro lado. Espero que este hilo le sirva a otra gente también.

Saludos.