Pérdida de energía de los fotones por la expansión del Universo

[Alriga]

Sea un volumen de universo tan grande como se quiera, tan grande incluso como todo el universo observable y vamos a ver cómo evoluciona en él la energía de la radiación aplicando las Ecuaciones de Friedman, (basadas en las ecuaciones de campo de la Relatividad General con las hipótesis adicionales de homogeneidad e isotropía)

Tomamos pues un volumen arbitrario de universo muy grande en un tiempo cósmico “t” al que corresponde un factor de escala “a” y un despalzamiento al rojo z=(1/a)-1 Llamo ese volumen $V_z$ Supongo el universo plano, como sabemos que aproximadamente es. La energía total de la radiación en todo ese volumen es:

$E_{R_z}=V_z \ \Omega_{R_z} \ \rho_z$

$\Omega_{R_z}$ es el ratio de densidad de radiación

$\rho_z$ es la densidad total de energía en ese instante del universo

El volumen $V_z$ está relacionado con el volumen actual mediante:

$V_z=V_0 \cdot a^3 = \dfrac{V_0}{(1+z)^3}$

La expresión del ratio de densidad de radiación en función del redshift es:

$\Omega_{R_z}=\dfrac{\Omega_{R_0}(1+z)^4}{\Omega_{\Lambda_0}+\Omega_{M_0}(1+z)^3+\Omega_{R_0}(1+z)^4}$

La densidad en función de z:

$\rho_z=\dfrac{3H^2}{8\pi G}=\dfrac{3H_0^2}{8\pi G} \ \Big (\Omega_{\Lambda_0}+\Omega_{M_0}(1+z)^3+\Omega_{R_0}(1+z)^4 \Big )$

Los subíndices “cero” corresponden al tiempo actual. $H$ es el parámetro de Hubble y $H_0$ la constante de Hubble. Sustituyendo y operando:

$E_{R_z}=V_0 \ \Omega_{R_0} \ (1+z) \ \dfrac{3H^2}{8\pi G}$

En el momento actual

$E_{R_0}=V_0 \ \Omega_{R_0} \ \dfrac{3H^2}{8\pi G}$

Por lo tanto

$E_{R_0}= \dfrac{E_{R_z}}{1+z}$

La energía total de radiación de cualquier volumen del universo por grande que sea, va disminuyendo con el tiempo al ritmo 1/(1+z) que es el mismo ritmo que habíamos obtenido en el post #3 argumentando para cada fotón individual.

Usando el mismo desarrollo con la energía de la materia (oscura + bariónica) se obtiene que ésta se conserva:

$E_{M_0}= E_{M_z}$

Usando el mismo desarrollo con la energía oscura se obtiene que ésta aumenta sin cesar:

$E_{\Lambda_0}= E_{\Lambda_z} (1+z)^3$

Alguien podría estar tentado a pensar que la que se pierde en radiación es justo la que se va creando en forma de energía oscura, y de esta forma se compensan: NO es así, como es fácil de calcular.

Si en el universo sólo hay energía asociada a radiación, a materia y a energía oscura, entonces la energía del universo de la Relatividad General no se conserva.

Saludos.

[sater]

Por aquí hay una explicación del tema, echadle un ojo y me decís si os convence. Yo quiero darle un par de vueltas más y refrescar un par de conceptos antes.

Un saludo.

[carroza]

Si durante el vuelo los fotones han atravesado tan solo el vacío, no se ha perdido ninguno en el viaje y por lo tanto el número de fotones recibidos ha de ser igual al número de fotones emitidos:

Hola. Este punto no es trivial.
Cuando se produce la expansión del universo, se modifican todos los campos que hay en el, en particular el campo eléctrico y el campo magnético.

Imaginemos un pulso electromagnético, que inicialmente viene dado por unos campos $\vec E (\vec r, t_0), \vec B (\vec r, t_0)$. Este campo puedo desarrollarlo en una base de estados dados por diferente número de fotones, que tendrían diferentes momentos. En general, el pulso no tiene un número de fotones bien definido.

Ahora dejamos que el pulso evolucione, en el seno de un espacio que se está expandiendo. Nuestro pulso electromagnético se transforma, en el instante final, en $\vec E' (\vec r, t_f), \vec B' (\vec r, t_f)$. Estos valores de los campos se obtendrían a partir de las ecuaciones de Maxwell, formuladas en un espacio en expansión. Si ahora desarrollo el pulso en una base de estados de fotones, no hay, a priori, razón para que no se modifiquen los coeficientes del desarrollo. Por tanto, no veo, a priori, una razón para que el numero de fotones tenga que conservarse, pero sí varíe el momento de esos fotones.

Es diferente lo que ocurre cuando el pulso electromagnético evoluciona libremente, en una métrica fija, sin expansión. En ese caso, el número de fotones, y su momento, se conserva. El pulso no tiene un numero de fotones bien definido, pero la probabilidad de tener un cierto numero de fotones, con un momento determinado, se conserva.

En fin, nos haría falta un experto en resolver ecuaciones de Maxwell en una métrica en expansión. En el libro de Landau (Teoría clásica de campos) formula las ecuaciones relevantes.

Saludos

[Alriga]

... me entra una duda: ¿qué pasa con el efecto Doppler de toda la vida? O sea, si me lanzan un rayo de luz desde un cohete que se aleja ¿también recibo menos energía de la que se emite?

Entiendo que sí, que el receptor mide menos energía de la que mide el emisor. La energía no es un concepto absoluto, va ligada al sistema de referencia.

Una bola de 2 kg inmóvil dentro de un coche que va a 1 m/s respecto de mí, tiene una energía cinética de 1 J para mí que estoy parado viendo el coche, y de 0 J para el conductor del coche.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Creo que ese argumento debería ser no correcto, intento explicarme: imaginemos que emitimos con potencia $P_e$ durante un tiempo $t_e$ un pulso monocromático de fotones de frecuencia $\nu_e$.
[...]
necesariamente la energía recibida es menor a la emitida.

Veo correcto tu razonamiento, pero me entra una duda: ¿qué pasa con el efecto Doppler de toda la vida? O sea, si me lanzan un rayo de luz desde un cohete que se aleja ¿también recibo menos energía de la que se emite?

[Alriga]

Se me ocurre lo siguiente: supón que en una galaxia muy lejana se emite un rayo de luz durante un segundo. Al inicio, el rayo tendrá una longitud de 300.000 km. Durante el tiempo que demora en llegarnos, las distancias se duplican, lo que implica que su longitud total será de 600.000 km y su longitud de onda será el doble de la inicial, o sea que estaremos recibiendo la mitad de energía durante el doble del tiempo (2 segundos).

Creo que ese argumento debería ser no correcto, intento explicarme: imaginemos que emitimos con potencia $P_e$ durante un tiempo $t_e$ un pulso monocromático de fotones de frecuencia $\nu_e$. La energía emitida es

$E_e=P_e\cdot t_e$

Como los fotones son monocromáticos, la energía de cada uno de ellos es:

$E_{1e}=h \nu_e$

Entonces puedo calcular el número de fotones que he emitido:

$n_e=\dfrac{P_e\cdot t_e}{h\nu_e}$

La energía emitida ha sido

$$E_e=n_e \ h\nu_e$$

Si durante el vuelo los fotones han atravesado tan solo el vacío, no se ha perdido ninguno en el viaje y por lo tanto el número de fotones recibidos ha de ser igual al número de fotones emitidos:

$n_r=n_e$

Como los fotones son monocromáticos, la energía de cada uno de los fotones recibidos es

$E_{1r}=h \nu_r$

La energía total recibida es

$E_r=n_r \ h \nu_r$

$$E_r=n_e \ h\nu_r$$

Comparando (1) con (2) vemos que si $\nu_r < \nu_e$ necesariamente la energía medida por el receptor es menor a la energía medida por el emisor.

$E_r < E_e$

Detallando:

$\dfrac{E_e}{E_r}=\dfrac{\nu_e}{\nu_r}$

Recordando que por definición

$\dfrac{\nu_e}{\nu_r}=1+z=\dfrac 1{a}$

Se obtiene

$E_r=\dfrac{E_e}{1+z}$

Recordad que para presente y pasado, $z\geq 0$

Saludos.

[Jaime Rudas]

Cuando se dice que la radiación aumenta su longitud de onda, entiendo hasta donde alcanzan mis luces que está perdiendo energia. Entonces quién recibe esa energía? El medio intergaláctico?

Se me ocurre lo siguiente: supón que en una galaxia muy lejana se emite un rayo de luz durante un segundo. Al inicio, el rayo tendrá una longitud de 300.000 km. Durante el tiempo que demora en llegarnos, las distancias se duplican, lo que implica que su longitud total será de 600.000 km y su longitud de onda será el doble de la inicial, o sea que estaremos recibiendo la mitad de energía durante el doble del tiempo (2 segundos).

[JoseEnrique]

Cuando se dice que la radiación aumenta su longitud de onda, entiendo hasta donde alcanzan mis luces que está perdiendo energia. Entonces quién recibe esa energía? El medio intergaláctico?