Sobre el transporte paralelo y el recorrido de una flecha sobre una superficie.

[Richard R Richard]

Ahora, quizá la cuestión importante es la de porque algo tan "aparentemente" trivial tiene una transcendencia tan importante en física.

Porque entiendo que es lo que permitirá observar la diferencia entre la derivada normal y la covariante, la segunda es una derivada en la que no sola varia la función de las variables sino también los ejes coordenados donde se miden esas variables. De allí veras como se relaciona esto con los símbolos de Christoffell, porque en un espacio con curvatura la regla con la que mides se acorta o se agranda según el punto del espacio donde te encuentres, la métrica es la que gobierna eso, para comparar vectores provenientes dos lugares distintos del espacio debes saber cuanto mide uno, cuando lo transportas al lado del otro...

[inakigarber]

Muchas gracias por tu comentario.

No estaría mal si, como yo lo veo, el ángulo entre el vector inicial y el ecuador en A no es de 90°, sino de, por ejemplo, 100°. De esta forma, asumiendo que ANB es 90°, el vector final en A forma con el ecuador un ángulo de 10° y sigue siendo tangente a la esfera.

La perspectiva (y mi propia miopía) me han tenido engañados todo este tiempo. Partí de la suposición de que el vector flecha en su posición inicial apunta hacia el Norte, pero podría apuntar hacia el nordeste, por otra parte el dibujo de la Wikipedia está dibujado desde un plano más alto que el del ecuador (círculo horizontal). De manera que el vector final "parece" apuntar en un plano no tangente a la esfera y por tanto diferente al inicial, pero solo lo parece. Este plano es el mismo que el inicial, es solo que el vector se ha girado dentro del mismo plano.

De manera que la cuestión era mucho más sencilla de lo que parecía al principio. Ahora, quizá la cuestión importante es la de porque algo tan "aparentemente" trivial tiene una transcendencia tan importante en física.

Saludos y gracias.

[Jaime Rudas]

Entonces, la figura que aparece en la voz "Parallel transport" en la Wikipedia, y que vuelvo a anexar a continuación debe estar equivocada, o al menos induce a error;
[...]
Ya que el vector en su recorrido entre B y A se "mete" dentro de la circunferencia y no es tangente a esta, o no lo parece.

No estaría mal si, como yo lo veo, el ángulo entre el vector inicial y el ecuador en A no es de 90°, sino de, por ejemplo, 100°. De esta forma, asumiendo que ANB es 90°, el vector final en A forma con el ecuador un ángulo de 10° y sigue siendo tangente a la esfera.

[Richard R Richard]

Ahora Iñaki, logras visualizar que no importa donde apunte el vector inicial, tu puedes obtener en cada punto del desplazamiento el plano tangentes a la superficie y en base a él puedes transportar el vector sin variar el ángulo respecto a ese plano tangente, luego de cuatro ciclos también volverá a coincidir en modulo dirección y sentido.

Para que varíe su módulo entiendo se necesita transportarlo por ejemplo por la superficie de una elipsoide, en vez de una esfera con radio constante.

PD el ángulo que el vector rota en un ciclo es proporcional al área encerrada por la trayectoria, la curvatura total en una esfera el $4\pi$ , en el ejemplo clásico se usa una superficie equivalente a 1/8 de la superficie de la esfera, por lo que el ángulo rotado es

$\alpha=4\pi\dfrac{S}{4\pi R^2}<br />$

si $S=\frac 18 (4\pi R^2)$

entonces

$\alpha =\pi/2$

fíjate que si encierras 1/4 de superficie yendo hacia el norte y continuas recto de nuevo al ecuador y regresas por la línea del ecuador, el vector habrá regresado rotado en $\pi$ en el primer ciclo. correspondiéndose con lo dicho, el ángulo rotado es proporcional al área encerrada.

y que pasados los $2\pi$ o media superficie de la esfera , hay que ser sutil para entender cual es el área encerrada , si al este o al oeste del ángulo de salida, por eso se puede encerrar hasta $4\pi$ de ángulo de rotación,

Ejemplo desarrollar todo un meridano, ejemplo el de 0° te hará retornar con el vector a la misma posición luego de una vuelta pues con media superficie encerrada ya tienes acumulados $2\pi$ de rotación que justamente coincide con el ángulo inicial, cualquiera haya sido.

Segundo PD , el ángulo en que retorna rotado es independiente de la forma de la trayectoria escogida, tres trazos "rectos", una curva, rectas y curvas, reitero es indistinto, el transporte paralelo terminara rotado en un ángulo proporcional al área encerrada, y a la curvatura total de la superficie(en este caso la esfera).

[Richard R Richard]

Correctísimo., en 4 periplos vuelves a observar que el vector original y el final coinciden en modulo, dirección y sentido

[inakigarber]

Complementando lo explicado por Alriga, si se observa la esfera desde el sur, 8, 9 y 10 se ven como el 4, 3 y 1 de la figura.

En cada periplo del hoplita observaríamos que la flecha se desvía un cuarto de circunferencia (en este ejemplo), primero apunta hacia el norte, después hacia el Este (donde estamos nosotros), en un próximo periplo apuntaría hacia el Sur, después hacia el Oeste, para volver de nuevo al norte.

[Weip]

Aunque ya se ha dicho anteriormente, yo recomiendo fuertemente coger una pelota o un globo terráqueo como se habló, un lápiz o un bolígrafo e intentar hacer el transporte paralelo físicamente. Porque así es imposible que el lápiz entre en la pelota y estará forzado a ser tangente todo el rato.

[inakigarber]

Sí, 8 y 9 son tangentes a la esfera



Ahí tienes razón el 10 está mal dibujado, realmente sale perpendicularmente de la pantalla apuntando la flecha nuestros ojos.



Saludos.

Entonces, la figura que aparece en la voz "Parallel transport" en la Wikipedia, y que vuelvo a anexar a continuación debe estar equivocada, o al menos induce a error;

Ya que el vector en su recorrido entre B y A se "mete" dentro de la circunferencia y no es tangente a esta, o no lo parece.

[Jaime Rudas]

Desde mi perspectiva los vectores 8, 9 y 10 parecen no ser tangentes a la esfera ya parecen apuntar, sobre todo el 10, hacia el centro de la esfera.

Complementando lo explicado por Alriga, si se observa la esfera desde el sur, 8, 9 y 10 se ven como el 4, 3 y 1 de la figura.

[Alriga]

.. los vectores 8, 9 ... parecen no ser tangentes a la esfera ...

Sí, 8 y 9 son tangentes a la esfera

.. los vectores .. 10 parecen no ser tangentes a la esfera ya [que] parece apuntar, ... el 10, hacia el centro de la esfera...

Ahí tienes razón el 10 está mal dibujado, realmente sale perpendicularmente de la pantalla apuntando la flecha nuestros ojos.

Saludos.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta, pero creo que aún ando un poco despistado.

..
Si tienes un globo terráqueo, intenta realizar el recorrido usando como vector un lápiz, que has de mantener siempre tangente a la esfera.

Saludos.

Desde mi perspectiva los vectores 8, 9 y 10 parecen no ser tangentes a la esfera ya parecen apuntar, sobre todo el 10, hacia el centro de la esfera. Eso me tiene un tanto despistado.

[Alriga]

Kaixo Iñaki, mira a ver si con este dibujo en el que miramos la esfera desde la vertical del ecuador lo entiendes mejor. La circunferencia es el meridiano de Greenwich, la recta horizontal roja es la circunferencia del ecuador vista de perfil y a recta vertical roja es la circunferencia del meridiano de longitud 90º este, el que pasa aproximadamente por Daca, la capital de Bengladesh, (también visto de perfil)

Iniciamos el recorrido en el punto del océano Atlántico en donde el meridiano de Greenwich corta al ecuador (longitud 0 y latitud cero) con un vector tangente a la esfera que apunta al norte. Nos vamos desplazando con el vector siempre tangente a la esfera y paralelo a si mismo, (siempre apuntando al norte) hasta llegar al polo Norte (N en el dibujo) son los vectores 1, 2, 3 y 4.

Allí empezamos a desplazarnos por el meridiano de longitud 90º hacia el ecuador manteniendo el vector paralelo a si mismo (y tangente a la esfera), son los vectores 4, 5, 6, 7 y 8 que es el punto del ecuador de longitud 90º y latitud 0º situado en el océano Índico.

Finalmente nos desplazamos por el ecuador hacia el oeste con el vector tangente a la esfera y paralelo a si mismo, (en este último tramo es siempre paralelo al ecuador) hasta regresar al punto de partida, son los vectores 8, 9 y 10. El vector final 10 forma un ángulo de 90º con el vector inicial 1 aunque en el desplazamiento se haya mantenido siempre el vector paralelo a si mismo.

Si tienes un globo terráqueo, intenta realizar el recorrido usando como vector un lápiz, que has de mantener siempre tangente a la esfera.

Saludos.

[Richard R Richard]

Buenas noches;

Hace algunos meses abrí el siguiente hilo, sobre el transporte paralelo. El tema no me quedó suficientemente claro y los viejos fantasmas han vuelto a resurgir, de manera que vuelvo a plantear dudas. En aquel hilo imaginaba un Hoplita que recorre la tierra desde A (en el ecuador) hacia el norte N. Al llegar al norte desciende sin cambiar la orientación de la flecha hasta otro punto B (también en el ecuador) retrocediendo luego siguiendo la línea del ecuador hasta A. Me encontraba con que la flecha que inicialmente marcaba hacia el norte, ahora regresa al mismo lugar marcando hacia el este. Al parecer mi planteamiento era erróneo.

Yo entiendo que lo que escribes es correcto.

si el vector es tangente con dirección y sentido hacia el norte, al llegar al norte , apunta hacia el este, al descender hacia b , sigue apuntando hacia el este, y al ir de B a A , sigue apuntando al este, y es tangente a la esfera en todo, punto, al llegar a A , la diferencia entre la llegada y la salida son 90° con el vector perteneciente al mismo plano tangente.

El esquema que suelo encontrar sobre el transporte paralelo es este que obtengo de la Wikipedia y que por tanto considero debe de ser correcto, pero no acabo de entenderlo. {"alt":"Haz clic en la imagen para ampliarNombre:\tTransporte paralelo.gifVitas:\t0Tama\u00f1o:\t39,4 KBID:\t355319","data-align":"center","data-attachmentid":"355319","data-size":"small","title":"Transporte paralelo.gif"}

en el gráfico el vector no es tangente a la partida y no lo es a la allegada, para la proyección sobre el plano tangente , de los dos vectores, esta desplazada los mismos 90 °

Bien, los tramos A N y N B no presentan ningún problema. En ambos tramos la dirección en que apunta la flecha es tangente a la superficie de la empresa, pero en el tramo de vuelta no es así, a medida que vamos acercándonos a A la flecha del vector va metiéndose dentro de la superficie de la esfera. Volviendo al hoplita, mientras viaja por las geodésicas AN y NB la punta de su flecha apuntaría siempre al horizonte, pero a medida que va desplazándose desde B hasta A debería observar que la flecha va apartándose más y más de la línea del horizonte. Desde su punto de vista la flecha no recorrería una trayectoria paralela.

no apunta al horizonte, si era tangente a la superficie de la esfera seguirá siendo tangente a la superficie de la esfera,

practica con un globo y un bolígrafo, quizá te sea mas fácil identificar el error.

[inakigarber]

Buenas noches;

Hace algunos meses abrí el siguiente hilo, sobre el transporte paralelo. El tema no me quedó suficientemente claro y los viejos fantasmas han vuelto a resurgir, de manera que vuelvo a plantear dudas. En aquel hilo imaginaba un Hoplita que recorre la tierra desde A (en el ecuador) hacia el norte N. Al llegar al norte desciende sin cambiar la orientación de la flecha hasta otro punto B (también en el ecuador) retrocediendo luego siguiendo la línea del ecuador hasta A. Me encontraba con que la flecha que inicialmente marcaba hacia el norte, ahora regresa al mismo lugar marcando hacia el este. Al parecer mi planteamiento era erróneo.

El esquema que suelo encontrar sobre el transporte paralelo es este que obtengo de la Wikipedia y que por tanto considero debe de ser correcto, pero no acabo de entenderlo.



Bien, los tramos A N y N B no presentan ningún problema. En ambos tramos la dirección en que apunta la flecha es tangente a la superficie de la empresa, pero en el tramo de vuelta no es así, a medida que vamos acercándonos a A la flecha del vector va metiéndose dentro de la superficie de la esfera. Volviendo al hoplita, mientras viaja por las geodésicas AN y NB la punta de su flecha apuntaría siempre al horizonte, pero a medida que va desplazándose desde B hasta A debería observar que la flecha va apartándose más y más de la línea del horizonte. Desde su punto de vista la flecha no recorrería una trayectoria paralela.

Bien, creo que aún me queda darle algunas vueltas al tema para entenderlo. ¿Qué debo hacer?

Saludos y gracias.

[inakigarber]

Buenas noches;

Intrigado sobre el tema encontré hace unos días los siguientes enlaces;
https://youtu.be/Zsw0jocNYbA
https://youtu.be/vtGekOjTrZw
https://youtu.be/u4xDlmZuP3k
De momento solo he visualizado los dos primeros.
El segundo vídeo nos hace una simulación de como sería el transporte paralelo de un vector sobre un meridiano de una circunferencia (a partir del minuto 41 aproximadamente), supongo que aún necesitaré repasar más veces el vídeo para entender la mecánica del asunto pues hay algo que no consigo comprender, el vector transportado paralelamente cuando llega al mismo punto tras dar una vuelta completa apunta en dirección contraria. Bien, aquí es donde viene mi duda, yo había pensado que el vector transportado paralelamente permanecía invariante, es decir que mantenía el mismo módulo y la misma dirección, pero parece que aquí también debo estar equivocado, de manera que tengo la sensación de volver a estar dando palos de ciego. De momento continuaré con el tercer vídeo de la serie, me gustaría tener una explicación sobre este intrigante tema.

Saludos y gracias.