Problema Relatividad General

[c1625]

Hola! Tengo un problema de un curso de Relatividad General universitario que no sé cómo abordar, y me preguntaba si alguien me podía dar alguna indicación o ideas para resolverlo. Dice así:

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En clase obtuvimos la ecuación geodésica derivada de la acción de una partícula relativista, que es la siguiente:
$<br /> S_0=-m\int{d\lambda \sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda}}}$
donde $\lambda$ es un parámetro a través de la trayectoria de la partícula $x^\mu(\lambda)$. En este problema, exploraremos una acción alternativa que también es válida en el límite $m\to 0$.

1. Consideremos la siguiente acción:
$S_1=\int d\lambda \frac{1}{2e(\lambda)} \Big[g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda} - m^2e^2(\lambda)\Big]$
donde $e(\lambda)$ (el einbein) es una nueva función independiente.

a) ¿Cómo tiene que transformarse $e(\lambda)$ bajo $\lambda\to\lambda’$ para que la acción sea invariante bajo reparametrizaciones?

b) Deriva una ecuación de restricción variando la acción $S_1$con respecto a $e(\lambda)$. Introduciendo esta restricción de nuevo en $S_1,$ muestra que la nueva acción se reduce a $S_0$.

c) Ahora varía la acción $S_2$ con respecto a $x^{\mu}$. ¿Para qué elecciones del einbein la ecuación de Euler-Lagrange resultante se reduce a la ecuación geodésica? Ya que la acción es invariante bajo reparametrizaciones de $\lambda$, puedes elegir cualquier valor no nulo de $e(\lambda)$.