Divulgación ¿Qué es el espacio-tiempo?

[alexpglez]

Querría preguntar después de saber manipular los cambios de coordenadas y tener un poco de teoría de espacios vectoriales y afines.

El espacio-tiempo es un espacio afín sobre $\mathbb R$ y completo $E \;\;\; dim(E)=4$ (por tanto isomorfo a $\mathbb R^4$), con una forma cuadrática $(1,3)$ (es decir que en alguna base será):

$$|v|^2=v_0^2-v_1^2-v_2^2-v_3^2$$

Ahora bien, tenemos un conjunto $U$ y una aplicación o conjunto de aplicaciones $\phi_i : A_i \subset U \longrightarrow E$, biyectivas y continuas (y tal vez diferenciables varias veces), que llevan todo punto de U a E. Tenemos así por construcción un espacio $U$ en el que podemos construir una forma bilineal en cada punto $g: U \longrightarrow \; \{\;|.|^2\;\}$ asociada a la forma cuadrática anterior.
Las ecuaciones de Einstein entonces regirían la función $g$ según cierta distribución de energía-momento en $U$.¿?

Es decir, que por construcción existe un sistema de coordenadas tal que el espacio-tiempo es plano, $g$ es constante para todo punto de $U$. (Cogiendo las coordenadas de los vectores de E)¿?

¿Es así?


PD: supongo que se podría simplificar mi pregunta interrogando si nuestro espacio es una variedad diferenciable cuyas nociones métricas están regidas por las ecuaciones de Einstein. Pero todavía no he visto nada de teoría sobre esto en matemáticas, por lo que no he preferido meter en mi pregunta tales conceptos.

Gracias, saludos