Cargas en teoria cuantica de campos

[carroza]

Hola.

Partiendo de un hilo anterior, voy a presentar cómo surgen las "cargas" en teoría cuántica de campos. Las cosas de las que partimos es un campo $\phi(x)$, y su densidad lagrangiana ${\cal L}(\phi, \partial_\mu \phi)$.

Las cargas de las que aqui hablamos incluyen la carga eléctrica, pero también otras "cargas" que aparecen en física de partículas. Numero barionoco, numeros leptónicos, extrañeza, encanto, etc. Son cosas que se conservan, más o menos estrictamente, y son las que nos permiten definir las particulas que existen en la naturaleza. En general toman valores que van de 1 en 1.

En mecánica clásica, las cargas (en particular la carga eléctrica) pueden ser arbitrarias. En las ecuaciones de Maxwell, por ejemplo, aparece una densidad de carga, y una densidad de corriente, que pueden tomar valores completamente arbitrarios. la conservacion de la carga viene determinada por una ecuación de continuidad que relaciona la densidad de carga y la densidad de corriente, de forma que, en cualquier volumen, la integral de la densidad de carga en el volumen más el fujo de la desnidad de corriente a través de la superficie, no varían con el tiempo.
El hecho de que la carga de cualquier objeto aparezca como un múltiplo entero de la carga del electrón, es un hecho fortuito, que la mecánica clásica no explica.

En teoría cuántica de campos la carga, asociada a un campo $\phi(x)$, viene asociada a ciertas transformaciones internas del campo $\phi(x)$, tales que dejan invariante el lagrangiano ${\cal L}(\phi, \partial_\mu \phi)$.

Las transformaciones más simples que podemos imaginar son de tipo $T(\alpha)[\phi(x) ] = \exp(i Q(\phi) \alpha) \phi(x)$. Estas se llaman "transformaciones gauge globales", y aquí cabe verlas como unas transformaciones "internas", a diferencia de las translaciones espaciales y temporales. Aquí $Q(\phi)$ es una propiedad del campo $\phi(x)$, que llamamos "carga" (puede ser la electrica, o cualquiera de las otras). $\alpha$ es un parámetro que indica la transformación gauge concreta $T(\alpha)$, y que se puede reescalar arbitrariamente. Ahora, estas transformaciones forman un grupo, cuyos elementos son $T(\alpha)$. El grupo más simple es el grupo $U(1)$, que es un grupo compacto, que implica que hay un cierto valor de $\alpha_I$ para el cual $T(\alpha_I)= 1$, es decir, que la tranformacion gauge coincide con la identidad. Si elegimos $\alpha_I = 2 \pi$, entonces $T(\alpha_I)= 1$ implica necesariamente que $Q(\phi)$ debe, necesariamente, ser entero para cualquier campo $\phi(x)$.

Sin embargo, salvo que $Q(\phi)=0$, la transformación Gauge $T(\alpha)[\phi(x) ] = \exp(i Q(\phi) \alpha) \phi(x)$, me exige que el campo $\phi(x)$ sea un campo complejo, es decir, un campo dado por numeros complejos para cada valor de $x$. Esto no es mayor problema. Si tengo dos campos reales $\phi_r(x)$, $\phi_i(x)$, siempre puedo definir el campo complejo $\phi(x) = \phi_r(x)+ i \phi_i(x)$, así como su conjugado $\phi^*(x) = \phi_r(x)- i \phi_i(x)$.
La transformación Gauge para el campo conjugado es $T(\alpha)[\phi^*(x) ] = \exp(- i Q(\phi) \alpha) \phi^*(x)$. Dicho de otra forma, el campo conjugado $\phi^*(x)$, tiene asociado una carga $Q(\phi^*) = -Q(\phi)$.

Las particulas asociadas a los campos tienen las cargas de los campos. Las particulas asociadas a $\phi(x)$, tienen las cargas, enteras, $Q(\phi)$. Las partículas asociadas a $\phi^*(x)$, tienen las cargas, enteras, opuestas a las anteriores $Q(\phi^*) = -Q(\phi)$. En general, las particulas asociadas a $\phi^*(x)$ son las antiparticulas de las asociadas a $\phi(x)$. Sin embargo, existe la posibilidad de que haya particulas toralmente neutras, $Q(\phi)=0$, asociadas a campos reales. Estas particulas coinciden con sus antiparticulas.


No es complicado buscar un lagrangiano, que dependa de $\phi(x), \phi^*(x)$ y de sus derivadas, y que sean invariantes frene a las transformaciones gauge globales. Este sería

${\cal L}(\phi, \partial_\mu \phi)= (\hbar c)^2 \partial_\mu \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) - (M c^2)^2 \phi(x)^* \phi(x)$.

Si a partir de esta densidad lagrangiana obtuviéramos las ecuaciones de evolución de los campos, encontrariamos una ecuación de Klein Gordon para el campo $\phi(x)$, y otra ecuación, formalmente idéntica, para $\phi^*(x)$. Ambas tendrían un ttérmino de masa igual a $M c^2$. Esto nos lleva al conocido hecho de que partículas y antipartículas tdeben tener la misma masa.

Aplicando el teorema de Noether a esta densidad lagrangiana, podemos obtener una densidad de "carga" y una densidad de corriente, ambas proporcionales a $Q(\phi)$, que cumplen las ecuaciones de continuidad que nos llevan a la conservación de la "carga" que estemos considerando.

Bueno, resumiendo lo que hemos visto hasta ahora:

1) las cargas en TCC aparecen asociadas a unas transformaciones internas de los campos, llamadas transformaciones Gauge globales.
2) si estas transformaciones constituyen un grupo compacto U(1), necesariamente las cargas son numeros enteros. Están, por tanto, cuantizadas.
3) Las particulas cargadas deben describirse por campos complejos, y llevan asociadas antiparticulas, asociadas al campo conjugado.
4) Con los campos y sus conjugados pueden construirse densidades lagrangianas invariantes frente a las transformaciones gauge globales. Estad densidades lagrangianas implican una evolución de los campos en los que se conserva la carga, e implican que las masas de partículas y antiparticulas deben ser iguales.


Un saludo

[carroza]

Continuando con el mensaje anterior:

¿Qué pasa si se viola la conservación de la carga? ¿Qué términos del lagrangiano pueden violar la conservación de la carga? Hemos visto que si hay un campo complejo $\phi(x)$, un término en el lagrangiano de tipo $\phi^* (x)\phi(x)$ es invariante frente a transformaciones gauge, y lleva a la conservación de la carga.

Sin embargo, si aparece un término $\left( \phi^* (x)\phi^*(x) + \phi(x) \phi(x) \right)$, este termino, aunque es hermítico, no es invariante gauge y no conserva la carga.

Estas cosas aparecen en la naturlaleza. Por ejemplo, el kaón positivo $K^+$ y el kaon negativo $K^-$ vienen descritos por campos conjugados $\phi_{K^+}^* (x), \quad \phi_{K^+}(x)$. Como difieren en la carga eléctrica, y esta se conserva estrictamente, el lagrangiano puede teren términos de tipo $\phi_{K^+}^* (x) \phi_{K^+}(x)$., pero no términos de tipo $\left( \phi_{K^+}^* (x)\phi_{K^+}^*(x) + \phi_{K^+}(x) \phi_{K^+}(x)\right)$.

Sin embargo, el kaón neutro $K_0$ y su anti kaon $\bar K_0$ vienen descritos por campos conjugados $\phi_{K_0}^* (x), \quad \phi_{K_0}(x)$. Estos no difieren en la carga eléctrica, pero sí difieren en la extrañeza. La extrañeza no se conserva estrictamente. Por ello, el lagrangiano puede tener términos de tipo $\phi_{K_0}^* (x) \phi_{K_0}(x)$, que son dominantes, y también términos de tipo $\left( \phi_{K_0}^* (x)\phi_{K_0}^*(x) + \phi_{K_0}(x) \phi_{K_0}(x)\right)$.

El efecto de estos terminos que no conservan la carga hace que, mientras el kaón positivo $K^+$ y el kaon negativo $K^-$ tienen estrictamente la misma masa, bien definida,los kaones neutros $K_0$ y su anti kaon $\bar K_0$, aparecen en la naturaleza en combinaciones , llamadas $K_L$ y $\bar K_S$, de masas ligerisimamente distintas pero con vidas medias muy diferentes.

Todo esto lo hace un pequeñisimo término cuadráticos, de tipo $\left( \phi_{K_0}^* (x)\phi_{K_0}^*(x) + \phi_{K_0}(x) \phi_{K_0}(x)\right)$. que es $10^{-14}$ veces más pequeño que el términos de tipo $\phi_{K_0}^* (x) \phi_{K_0}(x)$,

Es curioso como en teoría cuántica de campos se entrelazan los conceptos de cargas y de masas, todo en base a los términos cuadráticos que aparecen en el lagrangiano.

Un saludo

[carroza]

Hola de nuevo.

Estoy viendo que el hilo me está quedando un poco tocho. Voy a intentar aligerarlo un poco:


- En mecámica clásica, o en mecánica cuantica no relativista, las cargas son propiedades inherentes de las partículas. Las particulas, o tienen carga, o no la tienen.

- En teoría cuántica de campos, las cargas aparecen como el resultado de unas simetrías del lagrangiano que describe los campos, frente a unas transformaciones de los campos.
Eso requiere que el campo pueda "cambiarse". Un unico campo real no puede "cambiarse". Sin embargo, un campo complejo sí puede cambiarse, metiendole una fase. Por ello, la presencia de cargas requiere, al menos, un campo complejo.

- Cuando uno cuantiza un campo real, obtiene cosas del tipo de los cuantos del oscilador armónico, o los fonones de vibración, o los fotones. En general, son cosas "neutras". Las partículas que provienen de la cuantización de campos reales, por tanto, son neutras, y no se diferencian partículas de antipartículas.

- Sin embargo, cuando uno cuantiza un campo complejo, obtiene cosas que pueden tener una propiedad, o su opuesta. Al cuantizar campos complejos, tenemos partículas y antipartículas. Estas partículas y antipartículas deben tener la misma masa, y eso está necesariamente producido por el hecho de que el lagrangiano es invariante frente a las transformaciones asociadas a las cargas.

- En teoría cuantica de campos, las cargas son estrictamente enteras, o al menos proporcionales a números enteros. Eso ocurre con la carga, el numero bariónico, los numeros leptónicos, la extrañeza, etc. La razón para ello viene del caracter de las transformaciones asociadas a estas cargas (las transformaciones Gauge globales). Estas son transformaciones compactas, (dadas por un conjunto cerrado y acotado de parámetros). Un ejemplo es el grupo U(1) descrito antes. Hay otras transformacione sinteresantes, como las traslaciones, que son no compactas (dadas por unos parametros que forman un conjunto no cerrado y acotado, por ejemplo el que va de $(-\infty, \infty)$. Por eso, mientras que la carga eléctrica es entera, el momento lineal puede ser cualquier numero real.

Bueno, ya sigo otro día.

[carroza]

Hola.

Retomo el tema de las cargas. Voy a introducir el fascinante concepto de transformaciones Gauge locales.

A ver, tenimaos un campo complejo $\phi(x)$. Teniamos un conjunto de transformaciones gauge, que cambian la fase de los campos: $T(\alpha) \phi(x) = e^{-i Q \alpha} \phi(x)$, para el campo, y para el conjugado $T(\alpha) \phi^*(x) = e^{+i Q \alpha} \phi^*(x)$,

Tenemos que el lagrangiano del campo ${\cal L}(\phi, \partial_\mu \phi)= (\hbar c)^2 \partial_\mu \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) - (M c^2)^2 \phi(x)^* \phi(x))$ no se modifica si hago una transformación $T(\alpha)$,

Pero ahora me planteo una cosa: $\phi(x)$ es un campo, que toma valores en diferentes puntos $x$ del espacio-tiempo. Estos puntos pueden estar muy separados. Por ejemplo, un cierto valor de $x$ puede estar aquí y ahora, y otro valor de $x$ puede estar en alfa centauri, hace tres años. La cuestión es, por qué el parametro $\alpha$, que define la transdformación $T(\alpha)$, debe ser el mismo en todos los puntos $x$? Estos puntos pueden estar espacialmente separados, y no ha manera que uno "comunique" a otro que el parámetro $\alpha$, sea igual o distinto.

la salida a esto, muy radical, es decir que, si realmente se conserva la carga Q, la transformación $T(\alpha)$, debe tener un parametro que puede depender libremente de x. O sea, que la transformación es $T(\alpha(x))$, que es lo que se denomina una transformación gauge local.

Frente a esas transformaciones, $T(\alpha (x)) \phi(x) = e^{-i Q \alpha(x)} \phi(x)$, para el campo, y para el conjugado $T(\alpha(x)) \phi^*(x) = e^{+i Q \alpha(x)} \phi^*(x)$,

Pero ahora, nuestro lagrangiano del campo ${\cal L}(\phi, \partial_\mu \phi)= (\hbar c)^2 \partial_\mu \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) - (M c^2)^2 \phi(x)^* \phi(x))$ si se modifica si hago una transformación $T(\alpha(x))$,

De hecho, lo que provoca la modificación es el término $\partial^\mu \phi(x)$, que se convierte en $e^{-i Q \alpha(x)} \left( \partial^\mu \phi(x) - i Q \partial^\mu \alpha(x) \, \phi(x) \right)$,

Una persona prudente concluiría que este tema de las transformaciones gauge locales es una locura, y se olvidaría de ella. Sin embargo una persona no prudente, fanática de la invariancia y de la relatividad, está convencido de que las transformaciones gauge locales deben ser las buenas, y que lo que hay que hacer el cambiar la densidad lagrangiana para que sea invariante frente a transformaciones gauge locales.

Para ello, decide cambiar las derivadas, que son las que lian la guita. Y cambia $\partial^\mu$ por un nuevo operador $D^\mu = \partial^\mu + i e Q A^\mu(x)$, donde $A^\mu(x)$, es una cosa muy rara, que se modifica frente a transformaciones gauge locales $T(\alpha(x))$, de la manera que $A^\mu(x)$ se convierfte en $A^\mu(x) + {1 \over e} \partial^\mu \alpha(x)$.

Con esto, se compensa el término en $\partial^\mu \alpha(x)$, y se obtiene que la derivada modificada cumple que $D^\mu \phi(x)$, que se convierte en $e^{-i Q \alpha(x)} D^\mu \phi(x)$, Con ello, el lagrangino modificado
${\cal L}(\phi, \partial_\mu \phi, A_\mu)= (\hbar c)^2 D_\mu \phi^*(x) D^\mu \phi(x) - (M c^2)^2 \phi(x)^* \phi(x))$ sí es invatiante frente a las transformaciones gauge locales $T(\alpha(x))$,

Intrigante, eh?

[carroza]

Hola. Voy a dar una interpretación más física, y no tan matemática, de las transformaciones guge locales que hemos visto en el hilo anterior.

-Si las particulas tienen carga, cualquier tipo de carga, entonces hay una diferencia entre la partícula y su antipartícula. Como las particulas provienen de la cuantización de los campos, los campos que describen cualquier tipo de particulas cargadas son campos complejos, $\phi(x)$.

- Si la carga se conserva, entonces el lagrangiano de los campos debe ser invariante frente a un conjunto de transformaciones, definidas por un parámetro $\alpha$ en las que cambiamos la fase de los campos. Estas son las transformaciones gauge globales.

- Pero si, realmente, la carga se conserva, como la relatividad no permite que se conecten instantaneamente puntos separados en el espacio-tiempo, deberíamos exigir que el parámetro quen define las transformaciones gaige, $\alpha(x)$, pueda ser una funcion arbitraria del punto $x$. Estas se llaman transformaciones gauge locales.

- El lagrangiano libre del campo $\phi(x)$ no es invariante frente a transformaciones gauge locales. La unica forma de hacer que sea invariante, es modificar el lagrangiano añadiendo una cosa nueva, que llamamos $A^\mu (x)$. Esta cosa nueva se modifica en las transformaciones gauge, de forma especial que comepensa las variaciones del lagrangiano libre.

- La cosa $A^\mu (x)$ es un campo. Viene descrito por un cuadrivector, y por tanto tiene asociadas partículas de espin 1. Este campo se acopla con el campo original $\phi(x)$, y ese acoplamiento depende del operador carga $Q$ que consideramos, así como de una constante de acoplo $e$, que puede tener un valor arbitrario.

- El resultado interesante es que la conservación de una carga, implica la existencia de una simetría. Y la existencia de una simetría, implica que debe haber invariancia de unas transformaciones gauge locales. Y la existencia de la invariancia frente a unas transformaciones gauge locales, implica que debe haber un nuevo campo gauge, que se acopla al campo original. En resumen, si hay conservación de la carga, hay una interacción que aparece.

Bueno, vuelvo al hilo de las masas, para ver si tienen o no masa estos campos gauge que hemos derivado.

Saludos y que disfruteis de este hilo. Preguntad o comentad lo que veais.