Divulgación Equivalencia acción, lagrangiana, hamiltoniana, clásica - cuántica¿?

[alexpglez]

Hola, me preguntaba si se podría deducir la densidad lagrangiana que describa una partícula cuántica a partir de su acción y lagrangianas clásicas. Es decir:

$$S=-m \int ds \;\;\; = \;\;\; c\bar \Psi ( i\hbar \gamma^{\mu} \nabla_{\mu} - mc ) \Psi \;\;\; = \;\;\; \Psi ^* (\frac{\hbar^2}{m}\nabla_{\mu}\nabla^{\mu} + mc^2) \Psi$$

A su vez, si la integral de la densidad hamiltoniana cuántica, debe coincidir con su hamiltoniano clásico. Porque en la integral de la densidad hamiltoniana de la ecuación de klein gordon, (hice los cálculos un poco rápidos), me queda

$$\int HdV=\frac{p^2+m^2c^2}{m}$$

Un saludo.