Cargas en teoria cuantica de campos

[carroza]

Hola.

Partiendo de un hilo anterior, voy a presentar cómo surgen las "cargas" en teoría cuántica de campos. Las cosas de las que partimos es un campo $\phi(x)$, y su densidad lagrangiana ${\cal L}(\phi, \partial_\mu \phi)$.

Las cargas de las que aqui hablamos incluyen la carga eléctrica, pero también otras "cargas" que aparecen en física de partículas. Numero barionoco, numeros leptónicos, extrañeza, encanto, etc. Son cosas que se conservan, más o menos estrictamente, y son las que nos permiten definir las particulas que existen en la naturaleza. En general toman valores que van de 1 en 1.

En mecánica clásica, las cargas (en particular la carga eléctrica) pueden ser arbitrarias. En las ecuaciones de Maxwell, por ejemplo, aparece una densidad de carga, y una densidad de corriente, que pueden tomar valores completamente arbitrarios. la conservacion de la carga viene determinada por una ecuación de continuidad que relaciona la densidad de carga y la densidad de corriente, de forma que, en cualquier volumen, la integral de la densidad de carga en el volumen más el fujo de la desnidad de corriente a través de la superficie, no varían con el tiempo.
El hecho de que la carga de cualquier objeto aparezca como un múltiplo entero de la carga del electrón, es un hecho fortuito, que la mecánica clásica no explica.

En teoría cuántica de campos la carga, asociada a un campo $\phi(x)$, viene asociada a ciertas transformaciones internas del campo $\phi(x)$, tales que dejan invariante el lagrangiano ${\cal L}(\phi, \partial_\mu \phi)$.

Las transformaciones más simples que podemos imaginar son de tipo $T(\alpha)[\phi(x) ] = \exp(i Q(\phi) \alpha) \phi(x)$. Estas se llaman "transformaciones gauge globales", y aquí cabe verlas como unas transformaciones "internas", a diferencia de las translaciones espaciales y temporales. Aquí $Q(\phi)$ es una propiedad del campo $\phi(x)$, que llamamos "carga" (puede ser la electrica, o cualquiera de las otras). $\alpha$ es un parámetro que indica la transformación gauge concreta $T(\alpha)$, y que se puede reescalar arbitrariamente. Ahora, estas transformaciones forman un grupo, cuyos elementos son $T(\alpha)$. El grupo más simple es el grupo $U(1)$, que es un grupo compacto, que implica que hay un cierto valor de $\alpha_I$ para el cual $T(\alpha_I)= 1$, es decir, que la tranformacion gauge coincide con la identidad. Si elegimos $\alpha_I = 2 \pi$, entonces $T(\alpha_I)= 1$ implica necesariamente que $Q(\phi)$ debe, necesariamente, ser entero para cualquier campo $\phi(x)$.

Sin embargo, salvo que $Q(\phi)=0$, la transformación Gauge $T(\alpha)[\phi(x) ] = \exp(i Q(\phi) \alpha) \phi(x)$, me exige que el campo $\phi(x)$ sea un campo complejo, es decir, un campo dado por numeros complejos para cada valor de $x$. Esto no es mayor problema. Si tengo dos campos reales $\phi_r(x)$, $\phi_i(x)$, siempre puedo definir el campo complejo $\phi(x) = \phi_r(x)+ i \phi_i(x)$, así como su conjugado $\phi^*(x) = \phi_r(x)- i \phi_i(x)$.
La transformación Gauge para el campo conjugado es $T(\alpha)[\phi^*(x) ] = \exp(- i Q(\phi) \alpha) \phi^*(x)$. Dicho de otra forma, el campo conjugado $\phi^*(x)$, tiene asociado una carga $Q(\phi^*) = -Q(\phi)$.

Las particulas asociadas a los campos tienen las cargas de los campos. Las particulas asociadas a $\phi(x)$, tienen las cargas, enteras, $Q(\phi)$. Las partículas asociadas a $\phi^*(x)$, tienen las cargas, enteras, opuestas a las anteriores $Q(\phi^*) = -Q(\phi)$. En general, las particulas asociadas a $\phi^*(x)$ son las antiparticulas de las asociadas a $\phi(x)$. Sin embargo, existe la posibilidad de que haya particulas toralmente neutras, $Q(\phi)=0$, asociadas a campos reales. Estas particulas coinciden con sus antiparticulas.


No es complicado buscar un lagrangiano, que dependa de $\phi(x), \phi^*(x)$ y de sus derivadas, y que sean invariantes frene a las transformaciones gauge globales. Este sería

${\cal L}(\phi, \partial_\mu \phi)= {(\hbar c)^2 \over 2} (\partial_\mu \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) + { (\hbar c)^2 \over 2} (\partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi^*(x) - (M c^2)^2 \phi(x)^* \phi(x)$.

Si a partir de esta densidad lagrangiana obtuviéramos las ecuaciones de evolución de los campos, encontrariamos una ecuación de Klein Gordon para el campo $\phi(x)$, y otra ecuación, formalmente idéntica, para $\phi^*(x)$. Ambas tendrían un ttérmino de masa igual a $M c^2$. Esto nos lleva al conocido hecho de que partículas y antipartículas tdeben tener la misma masa.

Aplicando el teorema de Noether a esta densidad lagrangiana, podemos obtener una densidad de "carga" y una densidad de corriente, ambas proporcionales a $Q(\phi)$, que cumplen las ecuaciones de continuidad que nos llevan a la conservación de la "carga" que estemos considerando.

Bueno, resumiendo lo que hemos visto hasta ahora:

1) las cargas en TCC aparecen asociadas a unas transformaciones internas de los campos, llamadas transformaciones Gauge globales.
2) si estas transformaciones constituyen un grupo compacto U(1), necesariamente las cargas son numeros enteros. Están, por tanto, cuantizadas.
3) Las particulas cargadas deben describirse por campos complejos, y llevan asociadas antiparticulas, asociadas al campo conjugado.
4) Con los campos y sus conjugados pueden construirse densidades lagrangianas invariantes frente a las transformaciones gauge globales. Estad densidades lagrangianas implican una evolución de los campos en los que se conserva la carga, e implican que las masas de partículas y antiparticulas deben ser iguales.


Un saludo

[carroza]

Continuando con el mensaje anterior:

¿Qué pasa si se viola la conservación de la carga? ¿Qué términos del lagrangiano pueden violar la conservación de la carga? Hemos visto que si hay un campo complejo $\phi(x)$, un término en el lagrangiano de tipo $\phi^* (x)\phi(x)$ es invariante frente a transformaciones gauge, y lleva a la conservación de la carga.

Sin embargo, si aparece un término $\left( \phi^* (x)\phi^*(x) + \phi(x) \phi(x) \right)$, este termino, aunque es hermítico, no es invariante gauge y no conserva la carga.

Estas cosas aparecen en la naturlaleza. Por ejemplo, el kaón positivo $K^+$ y el kaon negativo $K^-$ vienen descritos por campos conjugados $\phi_{K^+}^* (x), \quad \phi_{K^+}(x)$. Como difieren en la carga eléctrica, y esta se conserva estrictamente, el lagrangiano puede teren términos de tipo $\phi_{K^+}^* (x) \phi_{K^+}(x)$., pero no términos de tipo $\left( \phi_{K^+}^* (x)\phi_{K^+}^*(x) + \phi_{K^+}(x) \phi_{K^+}(x)\right)$.

Sin embargo, el kaón neutro $K_0$ y su anti kaon $\bar K_0$ vienen descritos por campos conjugados $\phi_{K_0}^* (x), \quad \phi_{K_0}(x)$. Estos no difieren en la carga eléctrica, pero sí difieren en la extrañeza. La extrañeza no se conserva estrictamente. Por ello, el lagrangiano puede tener términos de tipo $\phi_{K_0}^* (x) \phi_{K_0}(x)$, que son dominantes, y también términos de tipo $\left( \phi_{K_0}^* (x)\phi_{K_0}^*(x) + \phi_{K_0}(x) \phi_{K_0}(x)\right)$.

El efecto de estos terminos que no conservan la carga hace que, mientras el kaón positivo $K^+$ y el kaon negativo $K^-$ tienen estrictamente la misma masa, bien definida,los kaones neutros $K_0$ y su anti kaon $\bar K_0$, aparecen en la naturaleza en combinaciones , llamadas $K_L$ y $\bar K_S$, de masas ligerisimamente distintas pero con vidas medias muy diferentes.

Todo esto lo hace un pequeñisimo término cuadráticos, de tipo $\left( \phi_{K_0}^* (x)\phi_{K_0}^*(x) + \phi_{K_0}(x) \phi_{K_0}(x)\right)$. que es $10^{-14}$ veces más pequeño que el términos de tipo $\phi_{K_0}^* (x) \phi_{K_0}(x)$,

Es curioso como en teoría cuántica de campos se entrelazan los conceptos de cargas y de masas, todo en base a los términos cuadráticos que aparecen en el lagrangiano.

Un saludo