Transformaciones de Spinor y Observables en la Teoría de Dirac

[leo_ro]

La siguiente expresión es un spinor

$\psi(x) = \begin{pmatrix} \psi_1(x) \\ \psi_2(x) \\ \psi_3(x) \\ \psi_4(x) \end{pmatrix}$

Donde el conjunto de soluciones para el electrón libre está dada por:

$\psi_1(x) = e^{-imc^2t/\hbar} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \psi_2(x) = \quad e^{-imc^2t/\hbar} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \psi_3(x) = \quad e^{-imc^2t/\hbar} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \psi_4(x)= \quad e^{-imc^2t/\hbar} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Por las matrices de Pauli podemos pasar de una solución a otra mediante esa transformación.

$\psi_2(x) = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix} \cdot e^{-imc^2t/\hbar} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ (1)

Pero la matriz de transformación dependerá de la observación correcto? Es decir de como estamos midiendo el spin. Ya que podemos tener una solución intermedia.

$\begin{pmatrix} \psi_1(x) \\ \psi_2(x) \\ \psi_3(x) \\ \psi_4(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-imc^2t/\hbar} \\ e^{-imc^2t/\hbar} \\ e^{imc^2t/\hbar}\\ e^{imc^2t/\hbar} \end{pmatrix}$

En ese caso tenemos un 50% de medir un spin up y un spin down del electrón. Pero físicamente ¿que tipo de transformación es la siguiente?

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{pmatrix}$

Ya que teóricamente estamos pasando de un electrón a un positrón.