1r ciclo Longitud del hilo

[jssln]

He intentado hacer este ejercicio, pero no sé como abordar estos apartados:

La relación termodinámica fundamental de cierto hilo elástico a temperatura T y tensión τ es
$G_{conf}(T, \tau,n) = - nRT ln\sum_{i=1}^{3}g_{i}e^{-(\epsilon _{i}-\tau l^{_{i}} / k_{b} T)}$

La suma se extiende sobre tres “estados de partícula” (i = 1, 2, 3) caracterizados por los parámetros


$l_{i}$ $\epsilon _{i}$ $g_{i}$
estado 1
$l$ $\epsilon$ $g$
estado 2
$l+\sigma$ 0 1
estado3
$l-\sigma$ 0 1

donde g > 1, $\epsilon$ > 0, $l$ > 0, $\sigma$ > 0. El parámetro $g_{i}$es la degeneración del estado i (es decir, el estado i no es un único estado sino $g_{i}$ estados con la misma energía) y está asociado a su contribución a la entropía del hilo. El parámetro $\epsilon _{i}$ es la contribución de cada partícula en el estado i a la energía interna del hilo. El parámetro $l_{i}$ es la contribución de cada partícula en el estado i a la longitud del hilo.

a) Las probabilidades de que las partículas estén en los estados 1, 2 y 3 son, respectivamente,

$x_{1}=\frac{ge^{(\tau l - \epsilon)/k_{b}T}}{\sum_{i=1}^{3}g_{i}e^{-(\epsilon _{i}-\tau l_{i}/K_{b}T)}}$, $x_{2}=\frac{e^{\tau (l + \sigma )/k_{b}T}}{\sum_{i=1}^{3}g_{i}e^{-(\epsilon _{i}-\tau l_{i}/K_{b}T)}}$, $x_{3}=\frac{e^{\tau (l - \sigma )/k_{b}T}}{\sum_{i=1}^{3}g_{i}e^{-(\epsilon _{i}-\tau l_{i}/K_{b}T)}}$

Para
g = 20, representa x₁, x₂ y x₃ (en la misma gráfica) frente a k_bT /$\epsilon$ en el rango 0 < k_bT /$\epsilon$ < 4 en los casos:
(i) tensión nula (gráfica 1) y (ii) tensión $\tau =\epsilon /\sigma$ (gráfica 2). Discute las gráficas, prestando especial atención a los límites de baja temperatura k_bT << $\epsilon$ y alta temperatura (k_bT >> $\epsilon$).

b) Utilizando la relación fundamental
Gconf (T ,$\tau$ ,n) y la ecuación de Gibbs

dGconf (T ,$\tau$ ,n) = - SconfdT - Ld$\tau$ +μconf dn ,

encuentra la longitud del hilo L(T ,$\tau$ ,n) = $-(\partial G_{conf} /\partial \tau )_{T, n}$ . Comprueba que se cumple $L = N \sum_{i=1 }^{3}x_{i}l_{i}$ . ¿Cuál es su
valor a tensión nula (y cualquier temperatura)? Representa $(L -Nl) /(N\sigma )$frente a k_bT /$\epsilon$ en el rango 0 < k_bT /$\epsilon$< 4 para una tensión aplicada $\tau = \epsilon / \sigma$(gráfica 3). Comenta los resultados.

c) ¿Describe la relación termodinámica fundamental Gconf (T ,$\tau$ ,n) alguna transición de fase del hilo? Si crees que sí, ¿es discontinua o continua? En cualquier caso, discute breve pero razonadamente tu respuesta. No es necesario que lo hagas, pero quizás podría ayudarte a responder a esta pregunta que pensases en la contribución configuracional a la
entalpía, $H_{conf} = N \sum_{i=1}^{3} x_{i}(\epsilon _{i} - \tau l_{i})$ o en su derivada (sin necesidad de calcularla)

$C_{\tau } - C_{l} = (\frac{\partial H_{conf}}{\partial T})_{\tau ,n} = T (\frac{\partial S_{conf}}{\partial T})_{\tau ,n} = - T (\frac{\partial^{2} G_{conf}}{\partial^{2} T})_{\tau ,n}$

d) Busca información sobre la transición de fase (entre los dos fases “gemelas” de martensita y la fase austenita) que ocurre en el NiTiNOL al aumentar su temperatura y relaciona muy brevemente dicha información con el modelo
microscópico.