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  • Teorema fundamental del cálcul0.

    El teorema fundamental del cálculo es de vital importancia, pues es el que establece la estrecha relación entre las operaciones derivada e integral: una la inversa de la otra.

    Antes de enunciar y demostrar el teorema, cabe señalar que estamos hablando de la integración tipo Riemann y que a las funciones integrables Riemann en un intervalo real se las denota como , es decir: es el espacio de funciones integrables Riemann en .

    Pasemos a enunciar y demostrar el teorema

    Teorema fundamental del cálculo:

    Sea y tal que . Entonces:

    i) es continua en .
    ii) Sea continua en un punto entonces es derivable en y

    Demostración

    i) Como , la función es acotada, es decir y .

    Si tomamos: tal que con (es decir, un h lo suficientemente pequeño como para que, al ser sumado a un número del intervalo, sigamos dentro del intervalo):



    Nota: hemos usado las siguientes propiedades de las integrales: y .

    Si tomamos valor absoluto:



    Donde hemos usado que: y

    Si aplicamos el límite en el que :


    Q.E.D

    ii) Sea continua en . Sea tal que (igual que en el primer apartado).





    Pues es una constante y hemos usado la propiedad de las integrales mencionada antes. Como la integración es una operación lineal (es decir: y ), tenemos:



    Como es continua en el punto tal que dado si . Tomando valor absoluto en la expresión anterior:



    Pues, ya que . Si tenemos:

    Q.E.D


    Demostración basada en las clases de Análisis Matemático de 1º de Grado en Física de José Esteban Galé, profesor de la Universidad de Zaragoza; Dpto. de Análisis Matemático.
    "La inteligencia me persigue, pero yo soy más rápido" - Fco de Quevedo

  • #2
    Hola Arri, ¿cómo va todo? Se te echa de menos por la web
    Me alegra que te hayas decidido a hacer un artículo para el blog demostraciones. Te hago un par de comentarios sobre el estilo:

    1. Numera las ecuaciones, para ello pon [TEX=*][/TEX] en lugar de [TEX][/TEX].

    2. Las integrales quedan feas con ese estilo. Pon \dst antes de cada integral para hacerlas grandes y hermosas (y lo mismo con los límites y las fracciones).

    Y para pasarlo a un artículo de blog, tienes que solicitar el ingreso al blog demostraciones en esta discusión.

    PD: Lo has subido dos veces, ya me dices cual de las dos borro.

    ¡Saludos!
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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    • #3
      Hola, Ángel:

      Intento participar en el foro, pero últimamente estoy algo ocupado :P

      Gracias por las correcciones, las haré de inmediato: estoy acostumbrado a trabajar con LaTeX, pero no en este foro. Este artículo era, digamos, de prueba. Ya que estamos ¿Cómo se hace para poner los límites bien; es decir, para que el quede justo debajo de la palabra ?

      Lo de enumerar las ecuaciones: gracias por el consejo pero, en demostraciones como ésta, no soy muy amigo de numerar las ecuaciones. De todas formas, si es requisito o lo preferís así, lo haré.

      Respecto a las dos copias: borra la que quieras, creo que es la misma. Borra en la que no hay comentarios y listo .
      "La inteligencia me persigue, pero yo soy más rápido" - Fco de Quevedo

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      • #4
        Genial.
        Respecto al contenido no diré mucho porque me pierdo un poco con la notación.
        Respecto a lo de numerar ecuaciones, no tienes por qué hacerlo. Si quisieras centrarlas y no numerarlas, puedes hacerlo con [TEX=null][/TEX], pero es también opcional.
        Para poner los límites, como digo, igual que las integrales. Hay que poner delante el comando \dst. Y lo mismo con las fracciones, solo que en estas en lugar de poner \dst \frac puedes poner directamente \dfrac.

        Y cuando cambies eso ya lo puedes subir al blog

        Saludos
        [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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        • #5
          Ya está corregido todo: ahora queda más decente :P.

          ¡Un saludo!
          "La inteligencia me persigue, pero yo soy más rápido" - Fco de Quevedo

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          • #6
            Genial. Cuando puedas súbelo a demostraciones
            [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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            • #7
              Bien... ¿Cómo se hace eso? XP
              "La inteligencia me persigue, pero yo soy más rápido" - Fco de Quevedo

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              • #8
                Primero has de pertenecer al blog. Te mandé la invitación, pero aún no la has aceptado. Te debe aparecer en notificaciones, arriba a la derecha. Si no ves nada, avisa y te reinvito.
                [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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                • #9
                  Hecho. Ahora ¿qué hago?
                  "La inteligencia me persigue, pero yo soy más rápido" - Fco de Quevedo

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                  • #10
                    Pues irte a la página principal del blog demostraciones y pulsar en el botón "escribir blog" que aparece arriba a la derecha. Ahí copias tu artículo (si haces copia y pega, copia el LaTeX con el código y no como imágenes que eso nos ha dado problemas) y al final lo metes en la categoría que corresponde (Matemáticas --> Cálculo).
                    Si te pierdes avisa

                    Saludos
                    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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                    • #11
                      Disculpa, hay un error muy sutil en la ecuación:
                      Donde dice



                      es en realidad

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                      • #12
                        Gracias, javier m​: ya está corregido
                        "La inteligencia me persigue, pero yo soy más rápido" - Fco de Quevedo

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                        Demostraciones

                        Acerca este grupo

                        La idea es que sea un lugar en donde aquellos que consideramos casi una necesidad el poder fundamentar de forma teórica las predicciones físicas basándose lo menos posible en la confianza hacia otras personas, podamos ir exponiendo las demostraciones que conocemos -o mejor aun, que podemos deducir- de las formulas que se implementan, y de esa forma poder ir aprendiendo unos de los otros.
                        Tipo: Público
                        Hilos: 52
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