Dada la enorme relevancia del concepto de límite en todos los ámbitos de la Física y las Matemáticas, vamos a demostrar aquí que el límite de una sucesión ha de ser forzosamente único.
Formalmente:
Sea una sucesión tal que , donde es un espacio métrico (un conjunto con una función distancia, simplificando), entonces la sucesión sólo puede converger, a lo sumo, a un punto .
Supóngase en primer lugar que y . Se demostrará que necesariamente .
Usando la desigualdad triangular se tiene que . Ya que tanto como valen , entonces , y la demostración está terminada, pues de la definición de distancia se tiene que si , entonces .
Esto se podría demostrar con más detalle, con más "formalidad" si se quiere, recurriendo a la definición de límite y a algún que otro teorema auxiliar sencillo.
Formalmente:
Sea una sucesión tal que , donde es un espacio métrico (un conjunto con una función distancia, simplificando), entonces la sucesión sólo puede converger, a lo sumo, a un punto .
Supóngase en primer lugar que y . Se demostrará que necesariamente .
Usando la desigualdad triangular se tiene que . Ya que tanto como valen , entonces , y la demostración está terminada, pues de la definición de distancia se tiene que si , entonces .
Esto se podría demostrar con más detalle, con más "formalidad" si se quiere, recurriendo a la definición de límite y a algún que otro teorema auxiliar sencillo.