Buenas, en este hilo deduciremos las ecuaciones de Hamilton para sistemas holónomos mediante principios variacionales.
La acción se define como , donde N es el número de partículas del sistema.
Es decir, a cada trayectoria concreta del espacio de fases le asigna un número real:
Esto nos permite etiquetar cada trayectoria posible del espacio de fases mediante la forma funcional de .
Principio de Hamilton
El principio de hamilton asegura que de todas las trayectorias posibles que puede seguir el sistema, la que se dará en la realidad es aquella en la que es un extremal, es decir
Deducción
Consideramos una variación lineal desde una trayectoria de referencia :
Además debemos imponer la condición de que tanto como tengan extremos fijos (mismo valor en y ), para garantizar que, independientemente de cómo se produzca la variación, empiezan y acaban en el mismo punto.
Antes de introducirnos en el desarrollo también es necesario aclarar que la variación cumple lo siguiente, teniendo en cuenta el principio de Hamilton.
Una vez visto esto, solamente hay que aclarar como es la integral de acción que vamos a emplear:
Dado que el hamiltoniano se define como:
Despejando de aquí el lagrangiano e introduciéndolo en la integral de acción nos queda:
Primero debemos calcular:
De las variaciones lineales introducidas al principio, podemos ver que:
Por lo que:
Integrando por partes el segundo termino de la primera integral se obtiene:
Sustituyendo en la expresión de arriba y reordenando, se tiene:
Sustituyendo en y definiendo y , se tiene:
Cuando el sistema es holónomo y son independientes y por tanto podemos aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones, que dice :
Sea , con y y en , con , entonces en .
Por este motivo vemos que los coeficientes deben anularse, lo cuál hace que lleguemos a la siguiente conclusión:
La implicación opuesta, se resuelve de manera bastante trivial introduciendo estos resultados en:
De modo que en realidad:
Cualquier cosa que veáis conveniente o si me he equivocado en alguna cosa, por favor decídmela.
Un saludo.
La acción se define como , donde N es el número de partículas del sistema.
Es decir, a cada trayectoria concreta del espacio de fases le asigna un número real:
Esto nos permite etiquetar cada trayectoria posible del espacio de fases mediante la forma funcional de .
Principio de Hamilton
El principio de hamilton asegura que de todas las trayectorias posibles que puede seguir el sistema, la que se dará en la realidad es aquella en la que es un extremal, es decir
Deducción
Consideramos una variación lineal desde una trayectoria de referencia :
Además debemos imponer la condición de que tanto como tengan extremos fijos (mismo valor en y ), para garantizar que, independientemente de cómo se produzca la variación, empiezan y acaban en el mismo punto.
Antes de introducirnos en el desarrollo también es necesario aclarar que la variación cumple lo siguiente, teniendo en cuenta el principio de Hamilton.
Una vez visto esto, solamente hay que aclarar como es la integral de acción que vamos a emplear:
Dado que el hamiltoniano se define como:
Despejando de aquí el lagrangiano e introduciéndolo en la integral de acción nos queda:
Primero debemos calcular:
De las variaciones lineales introducidas al principio, podemos ver que:
Por lo que:
Integrando por partes el segundo termino de la primera integral se obtiene:
Sustituyendo en la expresión de arriba y reordenando, se tiene:
Sustituyendo en y definiendo y , se tiene:
Cuando el sistema es holónomo y son independientes y por tanto podemos aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones, que dice :
Sea , con y y en , con , entonces en .
Por este motivo vemos que los coeficientes deben anularse, lo cuál hace que lleguemos a la siguiente conclusión:
La implicación opuesta, se resuelve de manera bastante trivial introduciendo estos resultados en:
De modo que en realidad:
Cualquier cosa que veáis conveniente o si me he equivocado en alguna cosa, por favor decídmela.
Un saludo.
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