Ecuaciones de Hamilton a partir del principio de mínima acción

  1. Lorentz
    Lorentz
    Buenas, en este hilo deduciremos las ecuaciones de Hamilton para sistemas holónomos mediante principios variacionales.

    La acción se define como S:\mathbb{R}^{6N} \longrightarrow \mathbb{R}, donde N es el número de partículas del sistema.

    Es decir, a cada trayectoria concreta del espacio de fases le asigna un número real:

    \lbrace q_1(t),...,q_n(t) \rbrace \longrightarrow \int_{a}^{b} \mathcal{L} (q_j(t),\dot{q_j}(t),t...

    Esto nos permite etiquetar cada trayectoria posible del espacio de fases mediante la forma funcional de \mathcal{L}.

    Principio de Hamilton

    El principio de hamilton asegura que de todas las trayectorias posibles que puede seguir el sistema, la que se dará en la realidad es aquella en la que \delta S es un extremal, es decir \delta S=0

    Deducción

    Consideramos una variación lineal desde una trayectoria de referencia  \lbrace q_j(t,0),p_j(t,0),t \rbrace :

    \begin{cases}q_j(t,\alpha)=q_j(t,0)+\alpha \hspace{0,09 cm} \eta_j(t) \\ 
p_j(t,\alpha)=p_j(t,0)+...

    Además debemos imponer la condición de que tanto \eta_j como \mu_j tengan extremos fijos (mismo valor en t_a y t_b), para garantizar que, independientemente de cómo se produzca la variación, empiezan y acaban en el mismo punto.

    \begin{cases}\eta_j(t_a)=\eta_j(t_b)=0\\\mu_j(t_a)=\mu_j(t_b)=0\end{cases}

    Antes de introducirnos en el desarrollo también es necesario aclarar que la variación cumple lo siguiente, teniendo en cuenta el principio de Hamilton.

    \dst \delta S=\frac{\partial S}{\partial \alpha} d\alpha=0

    Una vez visto esto, solamente hay que aclarar como es la integral de acción que vamos a emplear:

    \dst \int_{t_a}^{t_b} \mathcal{L} (q_j(t),\dot{q_j}(t),t) \hspace{0,1 cm}dt

    Dado que el hamiltoniano se define como:

    \dst H(q_j,p_j,t)=\sum_{j} p_j \dot{q_j} -\mathcal{L} (q_j,\dot{q_j},t)

    Despejando de aquí el lagrangiano e introduciéndolo en
    la integral de acción nos queda:

    \dst S = \int_{t_a}^{t_b} \left[ \sum_{j} p_j \dot{q_j} - H (q_j (t),p_j (t),t) \right] dt

    Primero debemos calcular:

    \dst \frac{\partial S}{\partial \alpha}= \int_{t_a}^{t_b} \sum_{j} \left( \frac{\partial p_j}{\pa...

    De las variaciones lineales introducidas al principio,
    podemos ver que:

    \dst \frac{\partial p_j}{\partial \alpha}=\mu_j \hspace{0,5 cm} ; \hspace{0,5 cm} \frac{\partial ...

    Por lo que:

    \dst  \frac{\partial S}{\partial \alpha}= \int_{t_a}^{t_b} \sum_{j} \left( \mu_j \dot{q_j}+ p_j \... \dst  - \int_{t_a}^{t_b} \sum_{j} \left( \frac{\partial H}{\partial q_j} \eta_j + \frac{\partial ...

    Integrando por partes el segundo termino de la primera integral se obtiene:

    \dst \int_{t_a}^{t_b}  p_j \frac{d\eta_j}{dt} \hspace{0,06 cm} dt = - \int_{t_a}^{t_b} \eta_j \do...

    Sustituyendo en la expresión de arriba y reordenando, se tiene:

    \dst \frac{\partial S}{\partial \alpha}= \sum_{j} \int_{t_a}^{t_b} \left( \dot{q_j}-\frac{\partia... \dst - \sum_{j} \int_{t_a}^{t_b} \left( \dot{p_j} + \frac{\partial H}{\partial q_j} \right) \eta_...

    Sustituyendo
    en \dst \delta S=\frac{\partial S}{\partial \alpha} d\alpha=0 y definiendo \dst \delta \mu_j=\mu_j d \alpha y \dst \delta \eta_j=\eta_j d \alpha, se tiene:

    \dst \delta S= \sum_{j} \int_{t_a}^{t_b} \left( \dot{q_j}-\frac{\partial H}{\partial p_j} \right)... \dst \left( \dot{p_j}+ \frac{\partial H}{\partial q_j} \right) \eta_j \hspace{0,06 cm} \delta \et...

    Cuando el sistema es holónomo \delta \mu_j y \delta \eta_j son independientes y por tanto podemos aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones, que dice :

    Sea \dst \int_{a}^{b} A(x) \eta (x) dx=0, con A(x) y \eta (X) \in C^2 y \eta (x) \neq 0 en (a,b), con \eta (a)=\eta (b)=0, entonces A(x)=0 en [a,b].

    Por este motivo vemos que los coeficientes deben anularse, lo cuál hace que lleguemos a la siguiente conclusión:

    \dst \delta S=0 \hspace{1cm} \Longrightarrow \hspace{1 cm}\begin{cases}\dot{q_j}=\frac{\partial H...

    La implicación opuesta, se resuelve de manera bastante trivial introduciendo estos resultados en:

    \dst \delta S= \sum_{j} \int_{t_a}^{t_b} \left( \dot{q_j}-\frac{\partial H}{\partial p_j} \right)... \dst \left( \dot{p_j}+ \frac{\partial H}{\partial q_j} \right) \eta_j \hspace{0,06 cm} \delta \et...

    De modo que en realidad:

    \dst \delta S=0 \hspace{1cm} \Longleftrightarrow \hspace{1 cm}\begin{cases}\dot{q_j}=\frac{\parti...

    Cualquier cosa que veáis conveniente o si me he equivocado en alguna cosa, por favor decídmela.

    Un saludo.
  2. Alriga
    Alriga
    Hola Lorentz, interesante desarrollo

    Simplemente te quería comentar que en cuanto a la forma, no se si sabes que escribiendo el comando \dst delante de las expresiones en LaTeX la ecuación se ve más grande, por ejemplo:

    \int_{t_a}^{t_b} p_j \frac{d\eta_j}{dt} \hspace{0,06 cm} dt = - \int_{t_a}^{t_b} \eta_j \dot{p_j} \hspace{0,06 cm} dt

    Se ve \int_{t_a}^{t_b} p_j \frac{d\eta_j}{dt} \hspace{0,06 cm} dt = - \int_{t_a}^{t_b} \eta_j \dot{p_j}...

    Mientras que si se escribe \dst \int_{t_a}^{t_b} p_j \frac{d\eta_j}{dt} \hspace{0,06 cm} dt = - \int_{t_a}^{t_b} \eta_j \dot{p_j} \hspace{0,06 cm} dt \hspace{0,06 cm}dt

    Se ve \dst \int_{t_a}^{t_b} p_j \frac{d\eta_j}{dt} \hspace{0,06 cm} dt = - \int_{t_a}^{t_b} \eta_j \dot...

    Si esto ya lo sabías perdona y olvida el comentario, saludos.
  3. Lorentz
    Lorentz
    Muchas gracias Alriga, no conocía ese comando, ya lo he modificado para que sea más fácilmente legible.
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