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  • La Identidad De Euler

    Sabemos que:









    hagamos la sustitucion

    y ademas usemos el hecho de que: i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1

    luego...



    donde lo que hemos hecho en la ultima parte es agrupar las potencias pares e impares de z segun lo que hemos dicho anteriormente (que redundancia =P)

    identificando que en esas definiciones estan presentes las funciones seno y coseno(dadas al principio del post) , podemos escribir en forma mas compacta:



    esta es la forma'' util ''(comunmente conocidad exponencial compleja, Ecuacion De Euler) ,usada bastante en fiscia(p.ej : Funcion de Onda, etc)

    ahora vamos con la identidad.

    hacemos

    lo que nos resulta :



    sumando 1 en ambos lados de la igualdad, nos queda finalmente la identidad de euler:






    comentario de feynman:

    Richard Feyman la llama la fórmula más importante en las matemáticas.

    Estos y otros resultados, se incluyen en lo que es llamado Belleza Matematica, Ejemplos modernos pueden incluir el Teorema de la Modularidad, que establece una conexión importante entre las curvas elípticas y formas modulares, pero para esto se sale de mi presupuesto.


    PD: para los que lo desconozcan, las funciones dadas de seno , coseno y exponencial, estan dadas en forma de series, que se pueden deducir por eso de las series de taylor(de maclaurin para a = 0, centradas) .

    en general, se define una funcion en series de potencia como:

    Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

    -Imagenes sacadas de la wikipedia y del buscador de imagenes de san google(me haria un lio escribiendo todo esto en latex )
    K = \mathbf{Q} (\zeta) \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \cdots \subset \mathbf{C}

  • #2
    La verdad, esta igualdad es sorprendente. ¡Relacionar los cinco números más importantes de la matemática en una igualdad tan simple...! No hay mucho más que expresar sorpresa.

    ¡Saludos!
     <br />
\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br />
{{n^2 }}} = \frac{1}<br />
{6}\pi ^2<br />

    Comentario


    • #3
      Si, eso bastaria para cualquier matematico, hacerse un lugar esplendido en la historia y tener su felicidad provisional hasta el tope.
      K = \mathbf{Q} (\zeta) \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \cdots \subset \mathbf{C}

      Comentario


      • #4
        Santo Euler... fue el centro de atención de mi trabajo de bachillerato sobre los numeros complejos!!
        Aún recuerdo a la gente de mi curso mirando con estupefación la misma demostración que has escrito, sin darse cuenta de mis fallos (que hubieron varios grácias al miedo escénico ).
        Me alegra ver la identidad por aquí.
        Saludos!!
        Many people would sooner die than think; In fact, they do so. Bertrand Russell.

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        • #5
          Euler.,,,,,,,,,,,,,,,,,,es un dios!!!!

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          • #6
            Me ofrezco a pasarlo a latex!!!

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            • #7
              Alguien me puede ayudar con esta ecuación de Laplace en coordenadas esféricas
              Gracias de antemano.

              Comentario

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              Acerca este grupo

              La idea es que sea un lugar en donde aquellos que consideramos casi una necesidad el poder fundamentar de forma teórica las predicciones físicas basándose lo menos posible en la confianza hacia otras personas, podamos ir exponiendo las demostraciones que conocemos -o mejor aun, que podemos deducir- de las formulas que se implementan, y de esa forma poder ir aprendiendo unos de los otros.
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